A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. Utilize o item a do exercício 3, calcule:

b ) ∫ sen 4 ⁡ x d x

Passo 1

Vamos usar o regra que diz:

∫ sen n ⁡ x d x = - 1 n sen n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ sen n - 2 ⁡ x d x

Sendo, pro nosso caso, n = 4

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 4 - 1 ⁡ x cos ⁡ x + 4 - 1 4 ∫ sen 4 - 2 ⁡ x d x

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 4 ∫ sen 2 ⁡ x d x

Passo 2

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 4 ∫ sen 2 ⁡ x d x

Lembrado que sen 2 ⁡ x = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 4 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 x d x

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 8 ∫ 1 - cos ⁡ 2 x d x

Vamos fazer uma substituição tal que: u = 2 x → d u = 2 d x → d u 2 = d x

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 16 ∫ 1 - cos ⁡ u d u

Como d sin ⁡ u d u = cos ⁡ u , assim:

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 16 u - se n ⁡ u

Voltando para a variável x :

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 16 2 x - se n ⁡ 2 x

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 8 x - 3 16 se n ⁡ 2 x

Lembrando que sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 8 x - 3 8 sen ⁡ x cos ⁡ x

Não se esqueça da constante:

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 8 x - 3 8 sen ⁡ x cos ⁡ x + k

Resposta

∫ sen 4 ⁡ x d x = - 1 4 sen 3 ⁡ x cos ⁡ x + 3 8 x - 3 8 sen ⁡ x cos ⁡ x + k

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