Enunciado

Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem velocidade igual a v t = t 2 e - t metro por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante os t primeiros segundos?

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A questão forneceu a função da velocidade e pede para você calcular a distância percorrida. Basta lembrar que a distância é a integral da velocidade, assim

d = ∫ 0 t v t   d t = ∫ 0 t t 2 e - t d t

Para calcular essa integral, vamos precisar usar integração por partes pois temos aqui um produto de funções costumeiramente esses casos são mais fáceis com essa técnica.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Vamos tomar u = t 2 e d v = e - t   d t , assim d u = 2 t   d t e v = - e - t . Desta forma,

d = - t 2 e - t 0 t + 2 ∫ 0 t t   e - t d t

= - t 2 e - t + 2 ∫ 0 t t   e - t   d t

Passo 3

Para calcular a segunda integral vamos usar partes novamente, agora com u = t e d v = e - t d t , de modo que d u = d t e v = - e - t . Assim,

∫ 0 t t   e - t   d t = - t e - t 0 t + ∫ 0 t e - t d t

= - t e - t - e - t 0 t

= - t e - t - e - t + 1

Assim,

d = - t 2 e - t + 2   - t e - t - e - t + 1

= 2 - t 2 e - t - 2 t e - t - 2 e - t

Resposta

2 - t 2 e - t - 2 t e - t - 2 e - t

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