Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 43

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine os pontos do cone z 2 = x 2 + y 2 que estão mais próximos do ponto (4, 2, 0).

Bom, a distância do ponto ( 4,2 , 0 ) a um ponto ( x , y , z ) qualquer do plano, é dada pela fórmula da distância d = x - 4 2 + y - 2 2 + z 2 .

Pra achar a menor distância, podemos minimizar essa função (achar o valor mínimo dela) na restrição do ponto pertencer ao cone z 2 = x 2 + y 2 .

Vamos fazer a função ao quadrado para não trabalharmos com raiz. Mas temos:

f x , y , x = x - 4 2 + ( y - 2 ) 2 + z 2

E

g x , y , z = z 2 = x 2 + y 2

Para usar os multiplicadores de Lagrange precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Bom, no nosso caso então temos:

2 x - 8   2 y - 4 ,   2 z = λ ( 2 x , 2 y , - 2 z )

Aí a gente iguala:

2 x - 8 = λ 2 x

2 y - 4 = λ 2 y

2 z = - λ 2 z

Da última equação temos que z = 0   o u   λ = - 1 .

Mas se z = 0 , pela equação z 2 = x 2 + y 2 , teríamos x = y = 0 também. E aí as duas equações de cima não seriam satisfeitas.

Então λ = - 1 mesmo.

Passo 3

Bom, se λ = - 1 , temos:

2 x - 8 = - 2 x

4 x = 8 → x = 2

2 y - 4 = - 2 y

4 y = 4 → y = 1

E aí o z ...

z 2 = 2 2 + 1 2

z = ± 5

Temos esses pontos então: 2,1 , - 5 e   2,1 , 5 .

São os pontos procurados✌

Resposta

2,1 , - 5 e   2,1 , 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o problema de minimizar a função f x ,y = x na curva y 2 + x 4 - x 3 = 0 (uma piriforme).(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.(b) Mostre que o valor mín
Considere o problema de maximizar a função f x ,y = 2 x + 3 y sujeita à restrição x + y = 5 .(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver o problema.(b) f 25 ,0 dá um valor maior que o
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.31. Exercício 4141. Determine os pontos do z 2 = x 2 + y 2 que estão mais próximos do pon
Exercício de Livro