Enunciado

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.

f x , y = x 2 + 2 y 2 - 2 x - 4 y + 1       D = x , y 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 }

Passo 1

Pra achar os valores de máximo e mínimos, precisamos ver onde as derivadas zeram.

Vamos fazer as derivadas parciais então...

f x = 2 x - 2

f y = 4 y - 4

Beleza, a gente monta um sisteminha assim:

2 x - 2 = 0 → x = 1 4 y - 4 = 0 → y = 1

O único ponto crítico então é:

( 1,1 )

Passo 2

Vamos testar o valor da função no ponto crítico e nos pontos do intervalo então:

  • f 1,1 = - 2
  • f 0,0 = 1
  • f 0,3 = 7
  • f 2,0 = 1
  • f 2,3 = 7

Vemos então que temos máximos absolutos em 0,3 e   ( 2,3 ) que é 7 , e um mínimo absoluto em ( 1,1 ) que é - 2 .

Resposta

Valor máximo: 7

Valor mínimo: -2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o ponto crítico de f ( x , y ) = x y + 2 x - l n ⁡ x 2 y no primeiro quadrante aberto ( x0 , y0 ) e mostre que f assume um valor minimo ali.
Encontre dois números a e b com a ≤ b tais que ∫ a b   6 - x - x 2 d x tenha seu valor máximo.
Mostre que (0, 0) é um ponto crítico de ƒ(x, y) = x2 + kxy + y2,não importando qual o valor da constante k. (Sugestão: considere dois casos: k = 0 e k Z 0.)
O discriminante f x x f y y - f x y2 é zero na origem para cada uma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada de segunda ordem falha. Determine se a função tem um máximo, um mínimo ou nenh
Funções:a. f ( x , y ) = x 2 + y 2 b. g ( x , y ) = 1 / x 2 + y 2 Curvas:i) A reta x = t ,y = 2 - 2 t ii) O segmento de reta x = t ,y = 2 - 2 t ,0 ≤ t ≤ t .