Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 41

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine a menor distância entre o ponto ( 2,0 , - 3 ) e o plano x + y + z = 1 .

Bom, a distância do ponto ( 2,0 , - 3 ) a um ponto ( x , y , z ) qualquer do plano, é dada pela fórmula da distância d = x - 2 2 + y 2 + z + 3 2 .

Pra achar a menor distância, podemos minimizar essa função (achar o valor mínimo dela) na restrição do ponto pertencer ao plano x + y + z = 1 .

Vamos fazer a função ao quadrado para não trabalharmos com raiz. Mas temos:

f x , y , x = x - 2 2 + y 2 + z - 3 2

E

g x , y , z = x + y + z = 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Bom, no nosso caso então temos:

2 x - 4 ,   2 y , 2 z + 6 = λ ( 1,1 , 1 )

Aí a gente iguala:

2 x - 4 = λ

2 y = λ

2 z + 6 = λ

Isso dá...

2 x - 4 = 2 y

2 x = 2 y + 4

x = y + 2

e...

2 y = 2 z + 6

2 z = 2 y - 6

z = y - 3

Vamos substituir na restrição agora...

Passo 3

x + y + z = 1

y + 2 + y + y - 3 = 1

3 y = 2

y = 2 3

E x = 8 3   e   z = - 7 3 .

O único ponto então é o 8 3 , 2 3 , - 7 3 .

Passo 4

O valor da função da distância nesse ponto é:

d = 8 3 - 2 2 + 2 3 2 + - 7 3 + 3 2

d = 4 9 + 4 9 + 4 9

d = 12 9 = 2 3 3

Essa é a menor distância entre o ponto pedido e o plano 👻

Resposta

2 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro