Enunciado

Determine os valores extremos de f   sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = y z + x y ,     x y = 1 ,         y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições, precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z =   μ ∇ h x , y , z

No nosso caso aqui temos:

y ,   z + x ,   y = λ y , x , 0 + μ ( 0,2 y , 2 z )

Beleza, daqui a gente tira que:

y = λ y

z + x = λ x + 2 y μ

y = μ 2 z

E precisamos que

    x y = 1

y 2 + z 2 = 1

Passo 2

Como x y = 1 , sabemos que x   e   y são diferentes de zero.

Da primeira então a gente tira:

λ = 1

E aí substituindo na segunda, temos:

z + x = x + 2 y μ

z = 2 y μ

Aí a gente joga isso na terceira:

y = μ 4 y μ

y = 4 y μ 2

μ 2 = 1 4

μ =   ± 1 2

Beleza, achamos os parâmetros. Bora achar os valores de x ,   y   e   z agora...

Passo 3

Se μ = 1 2 , tiramos de y = μ 2 z

y = z

Se μ = - 1 2 , temos y = - z . Aí jogando isso em y 2 + z 2 = 1 , encontramos:

± z 2 + z 2 = 1

2 z 2 = 1

z = ± 1 2

Podemos ter y = ± 1 2 então...

E aí usando que x y = 1 , encontramos:

x 1 2 = 1

x = 2

Ou x = - 2 .

Passo 4

Bom, agora a gente vê o valor da função f nos pontos que a gente encontrou:

f 2 , 1 2 ,   - 1 2 = 1 2

f 2 , 1 2 ,   1 2 = 3 2

f - 2 ,   - 1 2 ,   - 1 2 = 3 2

f - 2 ,   - 1 2 , 1 2 = 1 2  

Ou seja, o valor máximo da função nessas restrições é 3 2 e o valor mínimo é 1 2 .

Resposta

1 2 e 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o valor mínimo de f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 sujeito a restrição x + 2 y + 3 z = 10 . Mostre que f não tem valor máximo com essa restrição.
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
O método dos multiplicadores de Lagrange assume que os valores extremos existem, mas esse nem sempre é o caso. Mostre que o problema de encontrar o valor mínimo de f x , y = x 2 + y 2 sujeito a restri
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.Exercício 41
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita