Enunciado

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

x 2 1 - 2 x

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

Podemos escrever essa mesma série do enunciado como: x 2 1 - 2 x = x 2 1 1 - 2 x

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + … + x n + …

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Passo 2

Podemos então enxergar a função da série do enunciado como:

x 2 1 - 2 x = x 2 ∑ n = 0 ∞ ( 2 x ) n

O que equivale a dizer que:

x 2 1 - 2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 n x n + 2

Passo 3

Podemos então escrever os termos da série do enunciado como sendo:

Temos então que:

∑ n = 0 ∞ 2 n x n + 2 = x 2 + 2 x 3 + 2 2 x 4 + 2 3 x 5 + …

Resposta

∑ n = 0 ∞ 2 n x n + 2 = x 2 + 2 x 3 + 2 2 x 4 + 2 3 x 5 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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