Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = x 3 ( x - 2 ) 2

Passo 1

Para encontrar a série de potência da função   f x = x 3 ( x - 2 ) 2 , vamos dividir o problema em duas partes, primeiro vamos encontrar a série de potência para 1 x - 2 2 e em seguida multiplicar essa série por x ³ .

Passo 2

A série de potência de 1 x - 2 2 é:

1 x - 2 2 = 4 16 x + 3 16 x ² + 2 16 x ³ + … =   ∑ n = 1 ∞ 5 - n x n 16

Multiplicando ambos os lados por x³:

x ³ x - 2 2 = x ³ ∑ n = 1 ∞ 5 - n x n 16 = ∑ n = 1 ∞ 5 - n x n + 3 16

Passo 3

Calculando o raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 5 - n 4 - n = lim n → ∞ ⁡ n ( 5 n - 1 ) n ( 4 n - 1 )  

R = lim n → ∞ ⁡ - 1 - 1 = 1

Resposta

x ³ x - 2 2 = ∑ n = 1 ∞ 5 - n x n + 3 16

Raio de convergência: R = 1

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