Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = x 2 - x 3

Passo 1

Para encontrar a representação em serie de potência de   f x = x 2 - x 3 , vamos dividir o problema em duas partes. Primeiro vamos encontrar a série de potência de 1 2 - x .

Passo 2

A série de potência de 1 2 - x é:

1 2 - x = 1 2 ( 1 - x 2 ) = 1 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n = ∑ n = 0 ∞ x n 2 n + 1

Passo 3

Agora precisamos fazer com que 1 2 - x fique elevado ao cubo, para que isso aconteça podemos derivar duas vezes esta expressão.

1ª derivada:

d d x 1 2 - x = d d x ∑ n = 0 ∞ x n 2 n + 1

1 ( 2 - x ) ² = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 2 n + 1

2ª derivada:

d d x 1 ( 2 - x ) ² = d d x ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 2 n + 1

2 ( 2 - x ) ³ = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) x n - 2 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n 2 n + 3

Desta forma a série de potência de x 2 - x 3 fica:

x 2 - x 3 = 2 2   x ³ ( 2 - x ) ³ = x 3 2   ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n 2 n + 3 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n + 3 2 n + 4

Passo 4

Calculando o raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 n + 4   2 n + 5 ( n + 2 ) ( n + 3 ) = lim n → ∞ ⁡ n ( 1 + 1 / n   ) 2 n ( 1 + 3 / n )  

R = lim n → ∞ ⁡ 2 = 2

Resposta

x 2 - x 3 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n + 3 2 n + 4

Raio de convergência: R = 2

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