Enunciado

a. Utilize a série binomial e o fato de que

d d x s e n - 1 x   =   ( 1   -   x 2 ) - 1 / 2

para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para s e n - 1 x . Qual é o raio de convergência?

b. Série para c o s - 1 x Utilize seu resultado no item (a) para encontrar os cinco primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para c o s - 1 x .

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem? Vem comigo, vamos detonar mais uma questão!

a. O enunciado pede para a gente usar o seguinte resultado

d d x s e n - 1 x   =   ( 1   -   x 2 ) - 1 / 2

e o motivo disso é que, se a gente integrar dos dois lados, vamos ter

∫ 0 t d d x s e n - 1 x   d x   = s e n - 1 t = ∫ 0 t   ( 1   -   x 2 ) - 1 / 2   d x

Ou seja, podemos expressar a série do arco seno em termos da integração da série binomial. Só precisamos determinar a série ( 1   -   x 2 ) - 1 / 2 e integrar.

Passo 2

Usando a série binomial para m = - 1 / 2 , temos

1 1   +   x = 1 - x 2 + 3 x 2 8 - 5 x 3 16 +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, trocando x por - x 2 , ficamos com

1 1   - x 2 = 1 - ( - x 2 ) 2 + 3 ( - x 2 ) 2 8 - 5 ( - x 2 ) 3 16 +   ⋅ ⋅ ⋅

1 1   - x 2 = 1 + x 2 2 + 3 x 4 8 + 5 x 6 16 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 3

Por último, mas não menos importante, integramos de 0 a t :

∫ 0 t 1 1   - x 2 d x = ∫ 0 t 1 + x 2 2 + 3 x 4 8 + 5 x 6 16 d x = x + x 3 2 ⋅ 3 + 3 x 5 8 ⋅ 5 + 5 x 7 16 ⋅ 7 +   ⋅ ⋅ ⋅ 0 t

⇒ s e n - 1 t = ∫ 0 t 1 1   - x 2 d x = t + t 3 6 + 3 t 5 40 + 5 t 7 112 +   ⋅ ⋅ ⋅

Voltando para x , e lembrando que a questão só pede os quatro primeiros termos, temos

s e n - 1 x = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + 5 x 7 112

Passo 4

Olhando bem para a série de s e n - 1 x , vemos que ela pode ser escrita como

s e n - 1 x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 2 n   ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 x 2 n + 1 2 n + 1

então, enésimo termo tem a forma:

a n = 1 2 2 n   ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 x 2 n + 1 2 n + 1

Então, para ter o raio de convergência, temos que tomar o limite

l i m n → ∞ a n + 1 a n

Como

a n + 1 = 1 2 2 n + 2   ( 2 n + 2 ) ! ( ( n + 1 ) ! ) 2 x 2 n + 3 2 n + 3

então,

l i m n → ∞ a n + 1 a n = l i m n → ∞ 1 2 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! x 2 n + 3 2 n + 3 ⋅ 2 2 n n ! n ! ( 2 n ) ! 2 n + 1 x 2 n + 1

l i m n → ∞ a n + 1 a n = l i m n → ∞ ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n ) ! 2 2 ( n + 1 ) n ! ( n + 1 ) n ! x 2 n + 3 2 n + 3 ⋅ n ! n ! ( 2 n ) ! 2 n + 1 x 2 n + 1

l i m n → ∞ a n + 1 a n = 1 4 | x 2 | l i m n → ∞ 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( 2 n + 3 )

l i m n → ∞ a n + 1 a n = 1 4 | x 2 | l i m n → ∞ 2 ( 2 n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 3 )

l i m n → ∞ a n + 1 a n = 1 2 | x 2 | l i m n → ∞ 4 n 2 + 4 n + 1 2 n 2   + 5 n   +   3

l i m n → ∞ a n + 1 a n = 1 2 | x 2 | l i m n → ∞ 4 + 4 / n + 2 / n 2 2   + 5 / n   +   3 / n 2 = 1 2 | x 2 |   2 = | x 2 |

Precisamos que o limite L < 1 para que a série seja convergente, ou seja, | x 2 | < 1 . Logo, o raio de convergência é x = 1 .

Passo 5

b. Nesse item, temos que encontrar os cinco primeiros termos de c o s - 1 x a partir dos resultados do item a. Para isso, precisamos de uma relação trigonometria relacionando c o s - 1 x e s e n - 1 x , que vai ser

s e n - 1 x +   c o s - 1 x = π 2

Assim, passando s e n - 1 x para o lado direito da equação e usando a série que nós encontramos no item a, ficamos com

  c o s - 1 x = π 2 - s e n - 1 x

c o s - 1 x = π 2 - x - x 3 6 - 3 x 5 40 - 5 x 7 112

Ufa! Essa questão foi longa, não é? Eu vou descansar um pouco e te vejo na próxima!

Resposta

a. s e n - 1 x = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + 5 x 7 112 , raio de convergência: 1 .

b. c o s - 1 x = π 2 - x - x 3 6 - 3 x 5 40 - 5 x 7 112

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