Enunciado

  1. Use a série binomial para expandir 1 / 1 - x 2
  2. Use a parte (a) para encontrar a série de Maclaurin de sen - 1 ⁡ x .

Passo 1

(a) Podemos reescrever a fração como sendo

1 1 - x 2 = 1 + ( - x 2 ) - 1 / 2

Agora está no formato da série binomial que é da forma

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Então

1 1 - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 / 2 n ( - x 2 ) n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n

Passo 2

(b) Se derivarmos sen - 1 ⁡ x

sen - 1 ⁡ x ' = 1 1 - x 2

sen - 1 ⁡ x ' = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n

Integrando com os dois lados

sen - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n ∫ x 2 n d x

sen - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n + 1 2 n + 1

Resposta

(a)

1 1 - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n

(b)

sen - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n + 1 2 n + 1

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