Enunciado

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

30.   l i m x → 0 e x -   e - x x

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Que ótimo, vem comigo para mais uma questão!

Para avaliar o limite que foi dado, vamos começar usando a série da exponencial

e x = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, vamos subtrair 1 - x dos dois lados

e x - ( 1 + x ) = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅   - ( 1 + x )

e x - ( 1 - x ) = x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅  

Beleza, agora é só dividir por x 2 :

e x -   ( 1   -   x ) x 2 = 1 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n - 2 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Agora que temos a expansão em série, podemos tomar o limite

l i m x → 0 e x   -   (   1   +   x ) x 2 = l i m x → 0 1 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n - 2 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x → 0 e x -   ( 1   +   x ) x 2 = 1 2 ! + l i m x → 0 x 3 3 ! + l i m x → 0 x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + l i m x → 0 x n - 2 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x → 0 e x -   ( 1   +   x ) x 2 = 1 2 ! + 0 +   ⋅ ⋅ ⋅   + 0 +   ⋅ ⋅ ⋅   = 1 2

Resposta

l i m x → 0 e x -   ( 1   +   x ) x 2 = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .] f x = x 3 , a = - 1
Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .] f x = 1 x , a = - 3
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Se f (x) = sum_(n = 0)^(oo) b_n (x - 5)^n para todo x , escreva uma fórmula para b_8 .
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg