Enunciado

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

cos  ⁡ ( x 2 3 / 2     )  

Passo 1

Iai galerinha, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Série de Taylor!

O primeiro ponto que devemos tratar é escrever os termos da série que é trazida no enunciado.

O que nos é facilitado porque assim como o enunciado disse, é uma série conhecida! Dessa forma, temos os seguintes termos:

c o s   x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

E assim vai... Podemos então escrever a função dessa série como:

c o s   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Passo 2

Agora que já sabemos a estrutura da série, podemos adaptar essa estrutura à série trazida no enunciado. Dessa forma, temos:

cos ⁡ x 2 3 2 = 1 - x 3 2 * 2 ! + x 6 2 2 * 4 ! - x 9 2 3 * 6 ! + …

Ou seja, a série de Taylor pra esse caso vai ser igual a:

s e n   π x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 2 1 2 2 n 2 n !

Simplificando matematicamente, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n 2 n 2 n !

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n 2 n 2 n !   = [ 1 - 25 x 4 2 ! + 625 x 8 4 - 15625 x 12 6 ! + … ]

Tranquilo ne? Até a próxima, galera!

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