Uma função definida por uma série de potências ∑ n = 0 ∞ a n x n com raio de convergência R>0 tem uma série de Taylor que converge para a função em todos os pontos de (-R, R). Mostre que isso é verdade demonstrando que a série de Taylor gerada por ∑ n = 0 ∞ a n x n é a própria série ∑ n = 0 ∞ a n x n .

Uma consequência imediata disso é que séries como

x sen x = x^2 - (x^4 / 3!) + (x^6 / 5!) - (x^8 / 7!) + …

E

x^2 \* e^x = x^2 + x^3 + x^4 / 2! + x^5 / 3! + …

obtidas pela multiplicação de séries de Taylor por potências de x, bem como séries obtidas pela integração e derivação de séries de potências convergentes, são as próprias séries de Taylor geradas pelas funções que elas representam.

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

Se:

f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Logo, podemos dizer que:

f k x = ∑ n = k ∞ n n - 1 n - 2 … n - k + 1 a n x n - k

Passo 2

E também:

f k 0 = k ! a k

Por sua vez, temos que:

a k = f k 0 k !   p a r a   k   s e n d o   u m   i n t e i r o   n ã o   n e g a t i v o  

Passo 3

Portanto, os coeficientes de f ( x ) são idênticos aos coeficientes correspondentes nas séries de Maclaurin de f ( x ) e as condições que o seguem.

Resposta

A série de Taylor gerada por ∑ n = 0 ∞ a n x n é a própria série ∑ n = 0 ∞ a n x n .

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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