Enunciado

Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.

r (t) = 3 t i + 4 s e n t j + 4 cos t k

Passo 1

O primeiro passo é obter a derivada da curva dada. Temos:

r^' (t) = ( 3 , 4 cos t , - 4 s e n t )

A segunda derivada também precisa ser calculada:

r^(' ') (t) = ( 0 , - 4 s e n t , - 4 cos t )

Passo 2

Como a primeira e a segunda derivas já foram calculadas, podemos agora calcular o produto vetorial delas:

r^' (t) xx r^(' ') (t) = [[[i,j,k],[3,4,cos t,-,4,,s,e,n,,t],[0,-,4,,s,e,n,,t,-,4,cos t]]]

r^' (t) xx r^(' ') (t) = - 16 (s e n^2 t + cos^2 t) i + 12 cos t j - 12 s e n t k

Lembrando da identidade que s e n^2 theta + cos^2 theta = 1 , portanto:

r^' (t) xx r^(' ') (t) = - 16 i + 12 cos t j - 12 s e n t k

Passo 3

O módulo do vetor tangente r ' ( t ) é:

|r^' (t)| = sqrt(3^2 + (4 cos t)^2 + (- 4 s e n t)^2)

|r^' (t)| = sqrt(9 + 16 ( s e n^2 t + cos^2 t ))

|r^' (t)| = sqrt(25)

|r^' (t)| = 5

Já o módulo do produto vetorial calculado no Passo 2, é:

|r^' (t) xx r^(' ') (t)| = sqrt((- 16)^2 + (12 cos t)^2 + (- 12 s e n t)^2)

|r^' (t) xx r^(' ') (t)| = sqrt(256 + 144 ( s e n^2 t + cos^2 t ))

|r^' (t) xx r^(' ') (t)| = sqrt(400)

|r^' (t) xx r^(' ') (t)| = 20

Passo 4

Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema 10 obtemos a curvatura da função vetorial dada.

k (t) = (|r^' (t) xx r^(' ') (t)|)/(|r^' (t)|^3)

k (t) = (20)/(5^3)

k (t) = (20)/(125) = (4)/(25)

Resposta

k (t) = (4)/(25)

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Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.r (t) = t^2 i + t k
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura.y = 2 x - x^2
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. r t = t i + t j + ( 1 + t 2 ) k
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = ( t 2 ,2 t ,lnt ⁡ )
Trace o gráfico da curva com equações paramétricas x = t y = 4 t 3 / 2 z = - t 2 E calcule a curvatura no ponto (1, 4, -1).