Enunciado

Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.

r (t) = t i + t j + ( 1 + t^2 ) k

Passo 1

O primeiro passo é obter a derivada da curva dada. Temos:

r^' (t) = ( 1 , 1 , 2 t )

A segunda derivada também precisa ser calculada:

r^(' ') (t) = ( 0 , 0 , 2 )

Passo 2

Como a primeira e a segunda derivas já foram calculadas, podemos agora calcular o produto vetorial delas:

r^' (t) xx r^(' ') (t) = [[[i,j,k],[1,1,2,t],[0,0,2]]]

r^' (t) xx r^(' ') (t) = ( 2 , - 2 , 0 )

Passo 3

O módulo do vetor tangente r ' ( t ) é:

|r^' (t)| = sqrt(1 + 1 + (2 t)^2)

|r^' (t)| = sqrt(4 t^2 + 2)

Já o módulo do produto vetorial calculado no Passo 2, é:

|r^' (t) xx r^(' ') (t)| = sqrt(2^2 + (- 2)^2 + 0)

r^' (t) xx r^(' ') (t) = 2 sqrt(2)

Passo 4

Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema 10 obtemos a curvatura da função vetorial dada.

k (t) = (|r^' (t) xx r^(' ') (t)|)/(|r^' (t)|^3)

k (t) = (2 sqrt(2))/((sqrt(4 t^2 + 2))^3)

k (t) = (2 sqrt(2))/((4 t^2 + 2)^(3 // 2))

Resposta

k (t) = (2 sqrt(2))/((4 t^2 + 2)^(3 // 2))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies. O paraboloide z = 4 x 2 + y 2 e o cilindro parabólico y = x 2 .
Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q . P 1,0 , 1 Q = 2,3 , 1
Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q . P - 2,4 , 0 Q = 6 , - 1,2
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t =t 3 ,t 2
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies. O cone z = x 2 + y 2 e o plano z = 1 + y .