(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos juntos resolver essa atividade.
A gente precisa encontrar os vetores tangentes e normal unitários da curva parametrizada:
Para isso, deveremos utilizar das seguintes fórmulas:
E
Então veja que precisaremos derivar a nossa equação da curva, encontrarmos o modulo dela e depois substituir na fórmula de . Com em mãos, poderemos prosseguir para .
Além disso, deveremos utilizar a fórmula :
Passo 2
- 
O primeiro passo é calcular a derivada da curva dada. Temos: O módulo do vetor tangente, calculado acima, é: Realizando o Colocando em termos de produto notável para que possamos simplificar: Então simplificando: Passo 3O vetor tangente unitário é dado por: Substituindo: Realizando o produto: Calculado o vetor unitário , podemos obter sua derivada: O módulo de deve ser calculado. Temos: Simplificando os termos possíveis: Colocando em termos de produtos notáveis para simplificação: Retirando a raiz: Simplificando os termos: Passo 4Com base nos resultados anteriores podemos calcular o vetor normal unitário Temos Passo 5
O raio de curvatura é dado por
Organizando as frações:
Realizando o produto:
