Enunciado

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = ( t 2 ,   2 t ,   ln t ⁡ )

Passo 1

O primeiro passo é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r ' t = 2 t ,   2 , 1 t

O módulo do vetor tangente, calculado acima, é:

r ' t = 4 t 2 + 4 + 1 t 2

r ' t = 4 t 4 + 4 t 2 + 1 t 2

r ' t = 2 t 2 + 1 2 t 2

r ' t = 2 t 2 + 1 t

Passo 2

O vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = r ' t r ' t

T t = t 2 t 2 + 1 2 t ,   2 , 1 t

T t = 2 t 2 2 t 2 + 1 ,   2 t 2 t 2 + 1 ,   1 2 t 2 + 1

Calculado o vetor unitário T ( t ) , podemos obter sua derivada:

T ' t = 4 t 2 t 2 + 1 2 ,   - 4 t 2 + 2 2 t 2 + 1 2 ,   - 4 t 2 t 2 + 1 2

O módulo de T ' t deve ser calculado. Temos:

T ' t = 16 t 2 + - 4 t 2 + 2 2 + 16 t 2 2 t 2 + 1 2 2

T ' t = 4 ( 4 t 4 + 4 t 2 + 1 ) 2 t 2 + 1 2 2

T ' t = 4 2 t 2 + 1 2 2 t 2 + 1 2 2

T ' t = 2 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 2

T ' t = 2 2 t 2 + 1

Passo 3

Com base nos resultados anteriores podemos calcular o vetor normal unitário

N t = T ' t T ' t

Temos

N t = 2 t 2 + 1 2 4 t 2 t 2 + 1 2 ,   - 4 t 2 + 2 2 t 2 + 1 2 ,   - 4 t 2 t 2 + 1 2

N t = 2 t 2 t 2 + 1 ,   - 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 ,   - 2 t 2 t 2 + 1

Passo 4

O raio de curvatura é dado por

k t = T ' t r ' t

k t = 2 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 t

k t = 2 2 t 2 + 1 ⋅ t 2 t 2 + 1

k t = 2 t 2 t 2 + 1 2

Resposta

T t = 2 t 2 2 t 2 + 1 ,   2 t 2 t 2 + 1 ,   1 2 t 2 + 1

N t = 2 t 2 t 2 + 1 ,   - 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 ,   - 2 t 2 t 2 + 1

k t = 2 t 2 t 2 + 1 2

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