Enunciado

Uma vala é preenchida com um líquido de densidade 840   k g / m 3 . As extremidades da vala são triângulos equiláteros com lados de 8   m de comprimento e o vértice no fundo. Calcule a força hidrostática em uma extremidade da vala.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a força hidrostática em uma extremidade de uma vala com líquido de densidade 840   k g / m 3 e sabendo que as extremidades dessa vala são triângulos equiláteros com 8   m de lado e vértice no fundo.

Esboçando esse triângulo, temos:

Onde w i é a largura da vala e x i * a altura média do triângulo.

Pra calcular a força hidrostática na extremidade dessa vala, temos que lembrar que ela é dada pela integral do produto da área A pela gravidade g , densidade do fluido ρ e altura h :

F = ∫ A ρ g h

A área nós conseguimos encontrar pelas relações de semelhança de triângulo, assim como a altura. Então, nós substituímos os dados fornecidos pelo enunciado e calculamos a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Por semelhança de triângulos, a gente tem que:

8 4 3 = w i x i *

→ w i = 2 x i * 3

A área da i - é s i m a faixa retangular é 2 x i * 3 ∆ x e a pressão nela é ρ g h , onde h = ( 4 3 - x i * ) .

Passo 3

Assim, nossa força vai ser dada por:

F = ∫ 0 4 3 ρ g 4 3 - x 2 x 3 d x

Aplicando a distributiva nesse produto do integrando:

F = 8 ρ g ∫ 0 4 3 x   d x - 2 ρ g 3 ∫ 0 4 3 x 2   d x

Integrando em relação a x :

F = 4 ρ g x 2 0 4 3 - 2 ρ g 3 3 x 3 0 4 3

Aplicando os limites de integração, temos:

F = 192 ρ g - 2 ρ g 3 3 64 ∙ 3 3

F = 192 ρ g - 128 ρ g

F = 64 ρ g

Mas sabemos que ρ = 840   k g / m 3 e g = 9,8   m / s 2 . Então, substituindo, vamos obter:

F = 64 840 9.8

F ≈ 5.27 × 10 5 N

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

5.27 × 10 5 N

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