Enunciado

a. O valor de

lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ a n n n ,     a   c o n s t a n t e

Parece depender do valor de a ? Em caso positivo, como?

b. O valor de

lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ a n b n n ,     a   e   b   c o n s t a n t e s ,   b ≠ 0

Parece depender do valor de b ? Em caso positivo, como?

c. Utilize cálculo para confirmar seus achados nos itens (a) e (b).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

a) Não, o limite não depende do valor da constante a .

b) Sim, o limite depende do valor da constante b.

Passo 2

c) Verificando a resposta da letra a), vamos considerar p = 1 - cos ⁡ a n n n , pegando o logaritmo natural, nós temos que

ln ⁡ p = n ln ⁡ 1 - cos ⁡ a n n

Usando o limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ p = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 - cos ⁡ a n n 1 n

Usando a regra de L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ p = lim n → ∞ ⁡ - 1 1 - cos ⁡ a n n n sen ⁡ a n 2 - cos ⁡ a n n 2 - 1 n 2

Com isso, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ p = lim n → ∞ ⁡ a n sen ⁡ a n - cos ⁡ a n 1 - cos ⁡ a n n

Logo, temos o seguinte resultado no limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ p = 0 - 1 1 - 0 = - 1

Colocando o l n em evidência, temos

ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ p = - 1

Assim do exposto obtemos

lim n → ∞ ⁡ p = e - 1 = 1 e

Isto significa que

lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ a n n n

Não depende de a .

Passo 3

Verificando a resposta da letra b), vamos considerar q = 1 - cos ⁡ a n b n n , pegando o logaritmo natural, nós temos que

ln ⁡ q = n ln ⁡ 1 - cos ⁡ a n b n

Usando o limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ q = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 - cos ⁡ a n n b n

Usando a regra de L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ q = lim n → ∞ ⁡ - 1 1 - cos ⁡ a n n n sen ⁡ a n 2 - cos ⁡ a n n 2 - 1 n 2

Com isso, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ q = 1 q lim n → ∞ ⁡ a n sen ⁡ a n - cos ⁡ a n 1 - cos ⁡ a n b n

Logo, temos o seguinte resultado no limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ q = 0 - 1 1 - 0 1 b = - 1 b

Colocando o l n em evidência, temos

ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ q = - 1 b

Assim do exposto obtemos

lim n → ∞ ⁡ q = e - 1 b

Isto significa que

lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ a n b n n

Depende de b .

Resposta

Respondido acima!

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