Enunciado

Para quais valores da constante k o teste da derivada de segunda ordem garante que ƒ(x, y) = x2 + kxy + y2 terá um ponto de

sela em (0, 0)? Um máximo local em (0, 0)? Para quais valores

de k o teste da derivada de segunda ordem é inconcludente?

Justifique suas respostas.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolvermos este exercício, descobriremos para quais valores de k o teste da segunda derivada garante que f ( x , y ) = x 2 + k x y + y 2 terá um ponto de sela em ( 0,0 ) e um local mínimo em ( 0,0 ) . Você sabe para quais valores de k o teste é inconclusivo? Então acompanhe!

Passo 2

Este exercício é continuação do exercício anterior (exercício 14.7-45E). Sabemos que as segundas derivadas para a função f ( x , y ) = x 2 + k x y + y 2 são:

f x x ( x , y ) = 2 f y y ( x , y ) = 2 f x y ( x , y ) = k

Aplicando o teste, temos:

f x x f y y - f x y 2 = 4 - k 2

Veja que, para termos um ponto de sela em ( 0,0 ) , devemos ter:

4 - k 2 < 0

Então, para termos um ponto de sela, devemos ter k > 2 ou k < - 2 .E para termos um ponto mínimo em ( 0,0 ) , devemos ter:

4 - k 2 > 0

Assim, para termos um ponto mínimo, devemos ter - 2 < k < 2 .Observe que o teste é inconclusivo se:

4 - k 2 = 0

Desse modo, o teste é inconclusivo em k = ± 2 .

Resposta

Resposta nos passos.

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