Enunciado

Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal?

f x = x + 2 sen ⁡ x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

f x = x + 2 sen ⁡ x

Queremos descobrir os valores de x que o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal.

Bom... Uma reta horizontal é uma reta cuja inclinação é nula, ou seja, o coeficiente angular é zero.

Como a derivada de uma função em um ponto nos dá justamente o coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto, então devemos procurar os valores de x em que f ' x = 0 .

Mas, para a gente derivar essa função, precisaremos aplicar as regras da soma e do produto, que são dadas respectivamente por:

u + v ' = u ' + v '

u v ' = u ' v + u v '

A gente também precisa ter em mente as seguintes derivadas:

s e n   x ' = cos ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando f x , temos:

f ' x = d d x x + 2 sen ⁡ x

Aplicando a regra da soma:

f ' x = d d x x + d d x 2 sen ⁡ x

Aplicando a regra da potência, temos:

f ' x = 1 * x 1 - 1 + d d x 2 sen ⁡ x ∴

f ' x = 1 * x 0 + d d x 2 sen ⁡ x ∴

f ' x = 1 + d d x 2 sen ⁡ x

Passo 3

Aplicando a regra do produto em d d x 2 sen ⁡ x , temos:

d d x 2 sen ⁡ x = 2 sen ⁡ x ' + 2 ' sen ⁡ x

Aplicando a derivada do seno e sabendo que a derivada de uma constante é zero, obtemos:

d d x 2 sen ⁡ x = 2 cos ⁡ x

Substituindo na expressão do Passo 2, temos:

f ' x = 1 + 2 cos ⁡ x

Passo 4

Agora, para f ' x = 0 , temos:

1 + 2 cos ⁡ x = 0 ∴

cos ⁡ x = - 1 2 ∴

x = arccos ⁡ - 1 2 ∴

Assim, os valores de x que o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal são:

x = 2 π 3 + 2 π n ou 4 π 3 + 2 π n

Onde n é um número inteiro.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

x = 2 π 3 + 2 π n ou 4 π 3 + 2 π n

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