Enunciado

34. Ache uma equação da reta normal à curva

9 x^3 - y^3

n o p o n t o ( 1,2 )

Passo 1

Nesta questão o enunciado nos pede para determinarmos a equação da reta normal à curva no ponto dado:

9 x^3 - y^3

n o p o n t o ( 1,2 )

Para isso, devemos saber que a reta normal à curva é aquela em que o coeficiente angular da reta tangente ( atangente) multiplicado pelo coeficiente angular da reta normal (anormal) é igual a -1, ou seja, (atangentexanormal) = -1.

Sendo assim, para determinarmos a equação da reta normal, basta determinar a equação da reta tangente e utilizar a relação entre os coeficientes angulares para obter o coeficiente angular da reta noramal, e então sua equação de reta.

A equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.

Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a ) é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim

Passo 3

Aplicando o ponto dado (1,2) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto temos

Passo 4

Como no Passo 1 escrevemos a seguinte relação entre os coeficiente angulares , podemos obter o coeficiente angular da reta normal

(atangentexanormal) = -1

(9/4) x anormal = -1

anormal = -4/9

Então, até agora temos que a equação da reta normal à curva no ponto está da seguinte forma

Y = - 4 // 9 x + b

Passo 5

Substituindo o ponto (1,2) na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b

2 = - 4 // 9 . 1 + b

b = 22 // 9

Assim , a equação da reta normal à curva no ponto (1,2) é

Y = 1 // 9 ( - 4 x + 22 )

Resposta

Y = 1 // 9 ( - 4 x + 22 )

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