Enunciado

Se tgh ⁡ x = 12 13 , encontre os valores das outras funções hiperbólicas em x .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu o valor da tangente hiperbólica de x , no caso, tgh ⁡ x = 12 13 , e pediu pra gente encontrar os valores das outras funções hiperbólicas em x .

Isso quer dizer que precisamos calcular o seno hiperbólico, o cosseno hiperbólico, a secante hiperbólica, a cossecante hiperbólica e a cotangente hiperbólica de x , usando o valor dado.

Pra isso, a gente precisa lembrar de algumas identidades hiperbólicas, como:

cotgh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

sech 2 ⁡ x = 1 - tgh 2 ⁡ x

cosh ⁡ x = 1 sech ⁡ x

senh 2 ⁡ x = cosh 2 ⁡ x - 1

cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x

Partindo dessas identidades, vamos conseguir encontrar os valores das funções no ponto dado.

Vamos lá!

Passo 2

Beleza, a questão nos dá a seguinte tangente hiperbólica:

tgh ⁡ x = 12 13

Então, de cara, já podemos começar calculando a cotangente hiperbólica, usando a primeira identidade que vimos no passo 1 :

cotgh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

Assim, substituindo o valor da tangente, temos:

cotgh ⁡ x = 1 12 13

E fazendo a divisão de frações:

cotgh ⁡ x = 13 12

Passo 3

A secante hiperbólica pode ser calculada através da identidade:

sech 2 ⁡ x = 1 - tgh 2 ⁡ x

Substituindo tgh ⁡ x = 12 13 , temos:

sech 2 ⁡ x = 1 - 12 13 2

sech 2 ⁡ x = 25 169

E tirando a raiz quadrada dos dois lados da equação, obtemos:

sech ⁡ x = 5 13

Passo 4

O cosseno hiperbólico é dado por:

cosh ⁡ x = 1 sech ⁡ x

Usando o valor da secante que calculamos no passo anterior ( sech ⁡ x = 5 13 ), temos:

cosh ⁡ x = 1 5 13

E fazendo a divisão de frações:

cosh ⁡ x = 13 5

Passo 5

O seno hiperbólico pode ser calculado através da identidade:

senh 2 ⁡ x = cosh 2 ⁡ x - 1

Substituindo o valor do cosseno hiperbólico que calculamos no passo 2 , temos:

senh 2 ⁡ x = 13 5 2 - 1

senh 2 ⁡ x = 144 25

E tirando a raiz dos dois lados da equação:

senh ⁡ x = 12 5

Passo 6

A cossecante hiperbólica é dada por:

cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x

Usando o valor do seno hiperbólico que calculamos no passo anterior, temos:

cossech ⁡ x = 1 12 5

E fazendo a divisão de frações:

cossech ⁡ x = 5 12

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

cotgh ⁡ x = 13 12

sech ⁡ x = 5 13

cosh ⁡ x = 13 5

senh ⁡ x = 12 5

cossech ⁡ x = 5 12

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Ache o valor numérico para cada expressão. s e n h ⁡ ( 4 )
Ache o valor numérico para cada expressão. c o s h ⁡ ( 5 )
Ache o valor numérico para cada expressão. c o s h ⁡ ( ln ⁡ 5 )