Enunciado

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada.

R 1 em torno de A B

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A y d y

Sabemos então que a = 0 e b = 1 , R 1 é a curva y = x 3 → x = y 3 , vamos calcular a área agora, como rotacional em x = 1 que é a reta A B , temos:

A y = π r 2 = π 1 - y 3 2 = π 1 - 2 y 1 3 + y 2 3

Onde usamos o raio como a curva limite.

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A y d y = ∫ 0 1 π 1 - 2 y 1 3 + y 2 3 d y

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ π 1 - 2 y 1 3 + y 2 3 d y = π ∫ 1 - 2 y 1 3 + y 2 3 d y = π y - 2 . y 1 3 + 1 1 3 + 1 + y 2 3 + 1 2 3 + 1 + C = π y - 3 y 4 3 2 + 3 y 5 3 5 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ 0 1 π 1 - 2 y 1 3 + y 2 3 d y = π y - 3 y 4 3 2 + 3 y 5 3 5 0 1 = π 1 - 3 . 1 4 3 2 + 3 . 1 5 3 5 - 0 - 3 . 0 4 3 2 + 3 . 0 5 3 5 = π 1 - 3 2 + 3 5 = π 10

Resposta

V = π 10

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A região do Exercício 42 é girada em torno da reta y=x-a para gerar um sólido. Determine o volume desse sólido.
A base de um sólido é a região limitada pela parábola y 2 = 8 x e a reta x = 8 . Ache o volume do sólido, se toda secção plana perpendicular ao eixo da base for um quadrado.
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 - 3 x , pelo eixo x e pela reta x = 1 gira em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 + 2 x , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 4 , gira em torno do eixo x .
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.Eixo x