Enunciado

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 1 em torno de A B .

Passo 1

O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( y ) d y

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 1 , que é um segmento de reta indo do ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 1,1 ) . Antes de tudo, vamos encontrar essa função.

Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta. Ela pode ser dada como

y = a x + b

Já que temos dois pontos, podemos definir facilmente uma reta, não é? Vamos substituir cada ponto de uma vez. Primeiro o ponto 0,0 .

0 = a 0 + b   → b = 0

Sabemos o valor do termo independente da equação! Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora. Vamos substituir o segundo ponto:

1 = a 1 + 0   → a = 1

Assim, temos que a equação da reta é y = x ! Voltando para a questão, esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta x = 1 . Assim, a área do disco é igual a:

A y = π ( L - f y ) 2 = π 1 - y 2

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π 1 - y 2 d y = π ∫ 1 - 2 y + y 2   d y = π y - 2 y 2 2 + y 3 3 + C

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 π 1 - y 2 d y = π y - 2 y 2 2 + y 3 3 0 1

V = π 1 - 1 + 1 3 - 0 + 0 - 0 = π 3

Resposta

O resultado final é:

V = π 3

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Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = 4 - x 2 y = 2 - x
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = x 2 + 1 y = x + 3
33. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região do exercício 32.
32. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pela reta que passa por (1,3) e (3, 7) e pelas retas y = 3 , y = 7 e x = 0.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região abaixo (região do exercício 34) em torno do eixo y .