Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 6.1 - Ex. 39

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desse livro

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = x

y = 1

x = 0

Passo 1

As curvas que ele deu são:

y = x

y = 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja, ao redor do eixo x .

Essa região é aquela entre duas curvas, então temos que usar o método dos anéis. Qua basicamente é separar em dois volumes, o da curva laranja e o da curva verde.

Vamos ter então que o volume vai ser:

V = V 1 - V 2

Onde

V 1 → c u r v a   l a r a n j a

V 2 → c u r v a   v e r d e

Isso porque a curva laranja está acima da verde.

Agora, precisamos achar o intervalo de integração. O x vai de 0 até o encontro das curvas, vamos achar esse ponto:

y = x   e   y = 1

x = 1 → y = 1

Meio estranho mas é direto mesmo hahah

Entao a região vai de x = 0 até x = 1 . Onde os raios dos discos, que formam o anel, vão ser:

r 1 x = 1

r 2 x = x

Cada volume vai ser:

V 1 = ∫ 0 1 π 1 2 d x

V 1 = ∫ 0 1 π d x

E

V 2 = ∫ 0 1 π x 2 d x

Com:

V = V 1 - V 2

Passo 2

Vamos achar V 1 :

V 1 = ∫ 0 1 π d x

V 1 = π ∫ 0 1 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ d x = x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = π ∫ 0 1 d x = π x 0 1 =

π 1 - π 0 =

V 1 = π

Passo 4

Vamos achar V 2 :

V 2 = ∫ 0 1 π x 2 d x

V 2 = π ∫ 0 1 x 2 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

Passo 5

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ 0 1 x 2 d x = π x 3 3 0 1 =

π 1 3 3 - π 0 3 3 =

V 2 = π 3

Passo 6

Agora vamos para o V

V = V 1 - V 2

V = π - π 3

V = 2 π 3

Resposta

2 π 3

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