Enunciado

É verdade que, se ∑ n = 1 ∞ a n é uma série divergente de números positivos, também existe uma série divergente ∑ n = 1 ∞ b n de números positivos com b n < a n para cada n ? Existe uma “menor” série divergente de números positivos? Justifique suas respostas.

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá para mais um exercício!

Do teorema do Teste de Comparação, sabemos que se ∑ b n for divergente e a n ≥ b n para todo n , então ∑ a n também será divergente. Ou seja, a frase é verdadeira.

Por exemplo, a série:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Pode ser testada comparando-a com a série harmônica ( ∑ 1 / n ). Considerando:

ln ⁡ n n > 1 n             q u a n d o   n ≥ 3

E sabemos que ∑ 1 / n é divergente ( p -série com p = 1 ). Então, a série dada é divergente pelo Teste de Comparação.

Resposta

Resposta no Passo.

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Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n - 1 ! ( n + 2 ) !
Nos Exercícios 9-16, utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 5 n n4 n