Enunciado

Verdadeiro/Falso

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta

34) A imagem da função arco tangente é o intervalo:

- π 2 ≤ y ≤ π 2

Passo 1

Fala povo, tudo bem? Olha, a gente quer a imagem de:

y = f x = arctan ⁡ x

Como arco tangente é uma função inversa trigonométrica, que quer dizer que y é igual ao arco cuja tangente é x , ao invertermos a inversa, achamos a trigonométrica original! Ou seja:

x = tan ⁡ y

Lendo essa função, estamos dizendo que x é igual a tangente do arco y . A mesma coisa de antes, certo? Só falamos ao contrário. Agora, se:

- π 2 ≤ y ≤ π 2

Então:

tan ⁡ - π 2 ≤ tan ⁡ y ≤ tan ⁡ π 2

Só que se olharmos bem pro círculo trigonométrico:

Vemos que se o arco α fica muito pertinho de π 2 , a tangente explooode lá pro infinito e se o arco fica muito pertinho de - π 2 , o mesmo acontece, só que pra valores infinitamente grandes e negativos:

- ∞ ≤ tan ⁡ y ≤ - ∞

E bem galera, isso aí é uma verdade! Olhando pro próprio círculo trigonométrico vemos que uma tangente pode ser tão infinitamente grande ela queira! A afirmativa então é verdadeira! Pra fins ilustrativos, olha só esses gráficos:

Resposta

Verdadeiro

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