Verificar a regra da cadeia

df/dt = (∂f/∂x) \* (dx/dt) + (∂f/∂y) \* (dy/dt)

Para a função

f(x, y) = ln(x^2 + y^2)

x = 2t + 1

y = 4t^2 - 5

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

∂ f x , y ∂ x = 2 x x 2 + y 2

∂ f x , y ∂ y =   2 y x 2 + y 2

d x ( t 0 ) d t = 2

d y t 0 d t = 8 t 0  

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

d f x , y d t =   2 x x 2 + y 2 2 + 2 y x 2 + y 2 8 t 0   = 4 2 t + 1 + 16 4 t 3 - 5 t 16 t 4 - 3 6 t 2 + 4 t + 26  

Resposta

4 2 t + 1 + 16 4 t 3 - 5 t 16 t 4 - 36 t 2 + 4 t + 26

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