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Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.4 - Ex. 73

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Verifique se a integral imprópria converge. Em caso positivo, determine seu valor.

∫ 3 10 d x x 2 x 2 - 9

Passo 1

Aqui temos que em x 2 - 9 existe uma descontinuidade infinita em x = 3 , assim vamos ter que a integral é igual ao limite:

∫ 3 10 d x x 2 x 2 - 9 = lim r → 3 ⁺ ⁡ ∫ r 10 d x x 2 x 2 - 9

Então vamos lá, a integral imprópria converge se esse limite existir, e diverge se não existir, para saber isso vamos calcular essa integral e depois aplicar no limite.

Passo 2

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ d x x 2 x 2 - 9

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 - a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 3 sec ⁡ θ

d x = 3 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ d x x 2 x 2 - 9 d x = ∫ 1 9 sec 2 ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 9 3 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ tg ⁡ θ 3 sec ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ tg ⁡ θ 3 sec ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = ∫ tg ⁡ θ 3 sec ⁡ θ 9 tg 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg ⁡ θ 3 sec ⁡ θ 3 tg ⁡ θ d θ = ∫ 1 9 sec ⁡ θ d θ =

= 1 9 ∫ 1 1 cos ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

1 9 ∫ cos ⁡ θ d θ = 1 9 sen ⁡ θ + C

Vamos juntar tudo:

∫ d x x 2 x 2 - 9 = 1 9 ∫ cos ⁡ θ d θ = 1 9 sen ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 3 sec ⁡ θ , ou seja, sec ⁡ θ = x 3 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sen ⁡ θ :

Assim o valor de sen ⁡ θ é:

sen ⁡ θ = x 2 - 9 x

Pronto, ficamos então com:

∫ d x x 2 x 2 - 9 = 1 9 sen ⁡ θ + C = 1 9 x 2 - 9 x + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar ao limite:

lim r → 3 + ⁡ ∫ r 10 d x x 2 x 2 - 9 = lim r → 3 + ⁡ 1 9 x 2 - 9 x r 10 = 1 9 10 2 - 9 10 - lim r → 3 + ⁡ 1 9 r 2 - 9 r =

= 100 - 9 90 - 1 9 3 2 - 9 3 = 91 90 - 1 9 9 - 9 3 = 91 90

Pronto, o limite existe, então a integral converge e tem como resultado 91 90 .

Resposta

A integral converge e tem como resultado 91 90

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