Verifique se y_1(t) = t^2 e y_2(t) = t^(-1) são duas soluções da equação diferencial t^2 \* y'' - 2y = 0 para t > 0 . Depois mostre que c1 \* t^2 + c2 \* t^(-1) também é solução essa equação quaisquer que sejam c_1 e c_2 .

Passo 1

Bom, para começar precisamos derivar as duas soluções sugeridas para podermos verificar se elas satisfazem a equação diferencial dada no enunciado:

y 1 ' t = 2 t

y 1 ' ' t = 2

y 2 ' t = - t - 2

y 2 ' ' t = 2 t - 3

Passo 2

Substituindo primeiro y 1 e sua derivada segunda:

2 t 2 - 2 t 2 = 0

Como dá para ver, satisfaz.

Agora fazendo com y 2 :

t 2 2 t - 3 - 2 t - 1 = 0

2 t - 1 - 2 t - 1 = 0

Também satisfaz.

Passo 3

Agora multiplicamos cada uma delas por constantes arbitrárias e somamos as duas. A segunda derivada então ficará:

y = c 1 t 2 + c 2 t - 1

y ' ' = 2 c 1 + 2 c 2 t - 3

Substituindo na equação diferencial:

t 2 ( 2 c 1 + 2 c 2 t - 3 ) - 2 ( c 1 t 2 + c 2 t - 1 ) = 0

2 t 2 c 1 + 2 c 2 t - 1 - 2 c 1 t 2 c 2 t - 1 = 0

E o lado esquerdo dá zero, satisfazendo também a equação diferencial

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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