Enunciado

Verifique se y 1 t = t 2 e y 2 t = t - 1 são duas soluções da equação diferencial t 2 y ' ' - 2 y = 0 para t > 0 . Depois mostre que c 1 t 2 + c 2 t - 1 também é solução essa equação quaisquer que sejam c 1 e c 2 .

Passo 1

Bom, para começar precisamos derivar as duas soluções sugeridas para podermos verificar se elas satisfazem a equação diferencial dada no enunciado:

y 1 ' t = 2 t

y 1 ' ' t = 2

y 2 ' t = - t - 2

y 2 ' ' t = 2 t - 3

Passo 2

Substituindo primeiro y 1 e sua derivada segunda:

2 t 2 - 2 t 2 = 0

Como dá para ver, satisfaz.

Agora fazendo com y 2 :

t 2 2 t - 3 - 2 t - 1 = 0

2 t - 1 - 2 t - 1 = 0

Também satisfaz.

Passo 3

Agora multiplicamos cada uma delas por constantes arbitrárias e somamos as duas. A segunda derivada então ficará:

y = c 1 t 2 + c 2 t - 1

y ' ' = 2 c 1 + 2 c 2 t - 3

Substituindo na equação diferencial:

t 2 ( 2 c 1 + 2 c 2 t - 3 ) - 2 ( c 1 t 2 + c 2 t - 1 ) = 0

2 t 2 c 1 + 2 c 2 t - 1 - 2 c 1 t 2 c 2 t - 1 = 0

E o lado esquerdo dá zero, satisfazendo também a equação diferencial

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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