Enunciado

Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação.

x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar e rearranjar a equação, quando necessário na forma

y ' ' + p x y ' + q t y = 0

onde poderemos utilizar a forma do wronskiano em que aparece a integral, escrito da seguinte forma

W = C ⋅ e - ∫ p x d t

Passo 2

Aplicando o método mostrado no passo 1, temos que não será necessário nem reorganizar nossa EDO, conseguimos identificar perfeitamente nosso p x = 1 x . Substituindo no wronskiano, temos então que:

W = C ⋅ e - ∫ 1 x d x = C ⋅ e - ln ⁡ x = C ⋅ x - 1

E esse é o nosso wronskiano a menos de uma constante

Resposta

W = C ⋅ x - 1

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Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?24. y ' ' + 4 y = 0 , y 1 t = c o s
Se o wronskiano W de f e g é t 2 e t e se f t = t , encontre g ( t ) .
Verifique se y 1 t = 1 e y 2 t = t 1 / 2 são soluções da equação diferencial y y ' ' + y ' 2 = 0 para t0 . Depois mostre que c 1 + c 2 t 1 / 2 não é, em geral, solução dessa equação. explique por que
Se o wronskiano de f e g é t c o s t - s e n t e se u = f + 3 g , v = f - g , encontre o wronskiano de u e v .
Se o wronskiano W de f e g é 3 e 4 t e se f t = e 2 t , encontre g ( t ) .