Enunciado

  1. Verifique que:
  2. int sec^n x d x = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) x tan x + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

    Onde n > 1 é um natural

  3. Calcule int sec^5 x d x

Passo 1

Vamos imaginar o seguinte para essa equação:

Se sabemos que (d (tan x))/(d x) = sec^2 x podemos reescrever a integral dessa maneira:

int sec^n x d x = int sec^(n - 2) x xx sec^2 x d x

E usar a integração por partes assim:

int u d v = u v - int v d u

Chegaremos em:

u = sec^(n - 2) x -> d u = (n - 2) sec^(n - 3) x xx sec x tan x e v = tan x -> d v = sec^2 x d x

Assim:

int sec^n x d x = sec^(n - 2) x tan x - int (n - 2) sec^(n - 2) x tan^2 x d x =

= sec^(n - 2) x tan x - (n - 2) int sec^(n - 2) x (sec^2 x - 1) d x =

= sec^(n - 2) x tan x - (n - 2) int [sec^(n - 2 + 2) x - sec^(n - 2) x] d x =

= sec^(n - 2) x tan x - (n - 2) int [sec^n x - sec^(n - 2) x] d x =

Repare que dos dois lados temos o mesmo termo int sec^n x d x :

int sec^n x d x = sec^(n - 2) x tan x - (n - 2) int sec^n x d x + (n - 2) int sec^(n - 2) x d x

Assim podemos passar para o outro lado somando:

int sec^n x d x + (n - 2) int sec^n x d x = sec^(n - 2) x tan x + (n - 2) int sec^(n - 2) x d x

(n - 2 + 1) int sec^n x d x = sec^(n - 2) x tan x + (n - 2) int sec^(n - 2) x d x

(n - 1) int sec^n x d x = sec^(n - 2) x tan x + (n - 2) int sec^(n - 2) x d x

int sec^n x d x = (1)/(n - 1) [sec^(n - 2) x tan x + (n - 2) int sec^(n - 2) x d x] =

int sec^n x d x = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) x tan x + ((n - 2))/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

Passo 2

Agora vamos aplicar o teorema aprendido para int sec^5 x d x

int sec^5 x d x = (1)/(5 - 1) sec^(5 - 2) x tan x + ((5 - 2))/(5 - 1) int sec^(5 - 2) x d x =

(1)/(4) sec^3 tan x + ((3))/(4) int sec^3 x d x

Caímos em outro caso parecido:

int sec^3 x d x

Vamos resolver usando o mesmo teorema:

int sec^3 x d x = (1)/(3 - 1) sec^(3 - 2) x tan x + ((3 - 2))/(3 - 1) int sec^(3 - 2) x d x =

= (1)/(2) sec x tan x + (1)/(2) int sec x d x

Para Calcular o caso de int sec x d x não podemos usar o teorema dado pq n tem que ser maior que 1.

Passo 3

Para esse caso vamos fazer assim:

int sec x d x = int sec x xx ((sec x + tan x))/((sec x + tan x)) d x = int ((sec^2 x + sec x tan x))/((sec x + tan x)) d x

Sabemos que w = (sec x + tan x) -> d w = (sec x tan x + sec^2 x) d x assim:

int ((sec^2 x + sec x tan x))/((sec x + tan x)) d x ] = int (1)/(w) d w = ln | w | = ln |sec x + tan x|

Assim, podemos voltar pra integral anterior:

int sec^3 x d x = (1)/(2) sec x tan x + (1)/(2) int sec x d x =

int sec^3 x d x = (1)/(2) sec x tan x + (1)/(2) ln |sec x + tan x| =

Que por sua vez pode voltar pra anterior

int sec^5 x d x = (1)/(4) sec^3 tan x + ((3))/(4) int sec^3 x d x =

int sec^5 x d x = (1)/(4) sec^3 tan x + ((3))/(4) [(1)/(2) sec x tan x + (1)/(2) ln |sec x + tan x|] =

int sec^5 x d x = (1)/(4) sec^3 tan x + (3)/(8) sec x tan x + (3)/(8) ln |sec x + tan x|

Não esquecendo da constante...

int sec^5 x d x = (1)/(4) sec^3 tan x + (3)/(8) sec x tan x + (3)/(8) ln |sec x + tan x| + k

Resposta

int sec^5 x d x = (1)/(4) sec^3 tan x + (3)/(8) sec x tan x + (3)/(8) ln |sec x + tan x| + k

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