1. A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. Verifique que:
  2. ∫ sec n ⁡ x d x = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

    Onde n > 1 é um natural

  3. A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. Calcule ∫ sec 5 ⁡ x d x

Passo 1

Vamos imaginar o seguinte para essa equação:

Se sabemos que d tan ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x podemos reescrever a integral dessa maneira:

∫ sec n ⁡ x d x = ∫ sec n - 2 ⁡ x × sec 2 ⁡ x d x

E usar a integração por partes assim:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chegaremos em:

u = sec n - 2 ⁡ x → d u = n - 2 sec n - 3 ⁡ x × sec ⁡ x tan ⁡ x   e   v = tan ⁡ x → d v = sec 2 ⁡ x d x

Assim:

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x - ∫ n - 2 sec n - 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x =

= sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x - n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 d x =

= sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x - n - 2 ∫ sec n - 2 + 2 ⁡ x - sec n - 2 ⁡ x d x =

= sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x - n - 2 ∫ sec n ⁡ x - sec n - 2 ⁡ x d x =

Repare que dos dois lados temos o mesmo termo ∫ sec n ⁡ x d x :

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x - n - 2 ∫ sec n ⁡ x d x + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

Assim podemos passar para o outro lado somando:

∫ sec n ⁡ x d x + n - 2 ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

n - 2 + 1 ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

n - 1 ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

∫ sec n ⁡ x d x = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x + n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x =

∫ sec n ⁡ x d x = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

Passo 2

Agora vamos aplicar o teorema aprendido para ∫ sec 5 ⁡ x d x

∫ sec 5 ⁡ x d x = 1 5 - 1 sec 5 - 2 ⁡ x tan ⁡ x + 5 - 2 5 - 1 ∫ sec 5 - 2 ⁡ x d x =

1 4 sec 3 ⁡ tan ⁡ x + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ x d x

Caímos em outro caso parecido:

∫ sec 3 ⁡ x d x

Vamos resolver usando o mesmo teorema:

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 3 - 1 sec 3 - 2 ⁡ x tan ⁡ x + 3 - 2 3 - 1 ∫ sec 3 - 2 ⁡ x d x =

= 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ∫ sec ⁡ x d x

Para Calcular o caso de ∫ sec ⁡ x d x não podemos usar o teorema dado pq n tem que ser maior que 1.

Passo 3

Para esse caso vamos fazer assim:

∫ sec ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x × sec ⁡ x + tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x   d x = ∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x   d x

Sabemos que w = sec ⁡ x + tan ⁡ x → d w = sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x d x assim:

∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x   d x ] = ∫ 1 w d w = ln ⁡ | w | = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Assim, podemos voltar pra integral anterior:

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ∫ sec ⁡ x d x =

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x =

Que por sua vez pode voltar pra anterior

∫ sec 5 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ tan ⁡ x + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ x d x =

∫ sec 5 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ tan ⁡ x + 3 4 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x =

∫ sec 5 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ tan ⁡ x + 3 8 sec ⁡ x tan ⁡ x + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Não esquecendo da constante...

∫ sec 5 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ tan ⁡ x + 3 8 sec ⁡ x tan ⁡ x + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

Resposta

∫ sec 5 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ tan ⁡ x + 3 8 sec ⁡ x tan ⁡ x + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

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