Enunciado

Esboce o gráfico da função y = y (x) , x in R , Sabendo que

a ) (d y)/(d x) = 2 x - 1 e y (0) = 0

Passo 1

Se temos:

(d y)/(d x) = 2 x - 1

Podemos dizer que:

d y = (2 x - 1) d x

int d y = int (2 x - 1) d x

y = int (2 x - 1) d x

Passo 2

Agora que achamos uma maneira de encontrar y (x) vamos fazer a integral e achar a função:

y = int (2 x - 1) d x = [2 xx (x^2)/(2) - x] + k

y (x) = x^2 - x + k

Se quisermos y (0) , vamos substituir na equação:

y (0) = (0)^2 - (0) + k = k

Como o exercício disse que y (0) = 0 , então podemos igualar os valores de y (0) e achar o valor de k:

0 = k

Então:

y (x) = x^2 - x

Passo 3

Agora que temos a função precisamos do gráfico

Para equação de segundo grau precisamos de alguns dados. O primeiro é se a > 0 o u a < 0 , pro nosso caso a = 1 -> a > 0 ;

O segundo são os valores em que x = 0 , calculamos assim:

x^2 - x = 0 -> x (x - 1) = 0 -> {[[x = 1],[x = 0]])

E podemos usar a integral pra achar os valores de mínimo do gráfico:

(d y)/(d x) = 2 x - 1

2 x - 1 = 0 -> x = (1)/(2)

Vamos na equação e substituímos esse x por (1)/(2) e achamos o y mínimo também:

y ((1)/(2)) = ((1)/(2))^2 - ((1)/(2)) = (1)/(4) - (1)/(2) = (1 - 2)/(4) = - (1)/(4)

Então agora temos os pontos em que y = 0 , o ponto de mínimo e o lado da concavidade, assim o desenho fica:

Resposta

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