Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 2
Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial na região .
, é o sólido limitado pelos paraboloide e pelo plano .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pelo Teorema da Divergência temos:
Sendo assim, vamos testar dos dois lados.
Passo 2
Começando pelo lado direito.
Vamos calcular o divergente do campo :
Passo 3
Legal! O próximo passo é saber qual é a região . É um paraboloide, então em coordenadas cilíndricas temos .
No plano , temos um círculo de raio , então temos o intervalo
E o elemento de volume é
E o divergente em coordenadas cilíndricas é:
Agora podemos calcular o valor de :
Simplificando temos:
Lembrando que integrar seno ou cosseno em um período completo é zero, então só sobrou o último termo:
Certo! Agora temos que calcular para o outro lado!
Passo 4
Agora vamos calcular o lado esquerdo. Como a região a ser considerada é um paraboloide, um vetor normal a ele é .
O campo é
O produto escalar entre e é:
A região projetada no plano é um círculo de raio . Em coordenadas polares . O elemento de área vai ser com os limites:
E fazendo a integral :
Então verificamos o teorema =D