Enunciado

Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E .

F → x , y , z = x 2 i → + x y j → + z k → , E   é o sólido limitado pelos paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e pelo plano x y .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pelo Teorema da Divergência temos:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Sendo assim, vamos testar dos dois lados.

Passo 2

Começando pelo lado direito.

Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x 2 + ∂ ∂ y x y + ∂ ∂ z z = 3 x + 1

Passo 3

Legal! O próximo passo é saber qual é a região E . É um paraboloide, então em coordenadas cilíndricas temos x = r c o s θ ,   y = r s e n θ ,   z = z .

No plano x y , temos um círculo de raio 2 , então temos o intervalo

0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ z ≤ 4 - r 2

E o elemento de volume é d V = r d z d r d θ

E o divergente em coordenadas cilíndricas é: 3 r c o s θ + 1

Agora podemos calcular o valor de ∭ E ∇ ⋅ F → d V :

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( 3 r c o s θ + 1 ) r d z d r d θ =   ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 r 2 c o s θ z + r z 0 4 - r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 12 r 2 c o s θ - 3 r 4 c o s θ + 4 r - r 3   d r d θ = ∫ 0 2 π 12 r 3 3 - 3 r 5 5 c o s θ + 4 r 2 2 - r 4 4 0 2 d θ

Simplificando temos:

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ( 32 c o s θ - 19,2 c o s θ + 4 ) d θ

Lembrando que integrar seno ou cosseno em um período completo é zero, então só sobrou o último termo:

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π 4 d θ = 4.2 π = 8 π

Certo! Agora temos que calcular para o outro lado!

Passo 4

Agora vamos calcular o lado esquerdo. Como a região a ser considerada é um paraboloide, um vetor normal a ele é n → = k → .

O campo é F = x 2 ,   x y ,   z .

O produto escalar entre F → e n → é:

F → ⋅ n → = x 2 , x y , z ⋅ 0,0 , 1 = z = 4 - r 2

A região projetada no plano x y é um círculo de raio 2 . Em coordenadas polares x = r c o s θ ,   y = r s e n θ . O elemento de área vai ser d A = r d r d θ com os limites:

0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π

E fazendo a integral ∬ S F → ⋅ d S → :

∬ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r - r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 4 r 2 2 - r 4 4 0 2 d θ = 4 ∫ 0 2 π d θ = 8 π

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = 8 π

Então verificamos o teorema =D

Resposta

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = 8 π

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