Enunciado

Se S   é uma esfera e F → satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que ∬ S r o t   F → ⋅ d S → = 0

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos considerar uma esfera centrada na origem e que tenha raio R . As regiões de interesse são os dois hemisférios: superior A 1 e inferior A 2 . Pelo Teorema de Stokes, temos:

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∬ A 1 r o t   F → ⋅ d S → + ∬ A 2 r o t   F → ⋅ d S →

Ou, em termos das curvas de fronteira:

∮ F → ⋅ d r → = ∮ C 1   F → ⋅ d r → + ∮ C 2   F → ⋅ d r →

Passo 2

Mas as curvas C 1   e   C 2 são as mesmas, pois fazem parte da mesma esfera. Mas elas possuem orientações distintas. Sendo assim:

∮ C 1   F → ⋅ d r → = - ∮ C 2   F → ⋅ d r →

E substituindo ali em cima temos:

∮ F → ⋅ d r → = ∮ C 1   F → ⋅ d r → + ∮ C 2   F → ⋅ d r → = ∮ C 1   F → ⋅ d r → - ∮ C 1   F → ⋅ d r → = 0

Passo 3

Assim, pelo teorema temos:

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∮ F → ⋅ d r → = 0

Resposta

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∮ F → ⋅ d r → = 0

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Um hemisfério H e uma porção P de um paraboloide são mostrados. Suponha F um campo vetorial no R 3 cujas componentes tem derivadas parciais contínuas. Explique por quê. ∬ H r o t F . d S = ∬ P r o t R
Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F . d S F x , y , z = x y z i + x y j + x 2 y z k S consiste no topo e nas quatro laterais (mas não o fundo) do cubo com vértices ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) ,
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S . F x , y , z = - y i + x j - 2 k S é o cone z 2 = x 2 + y 2 ,0 ≤ z ≤ 4 , orientada para baixo.
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S . F x , y , z = y i + z j + x k S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,y ≥ 0 , orientado na direção positiva do eixo
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima. F x , y , z = x y i + ( y z ) j + ( z x ) k C é a fronteira de parte do parabo