Enunciado

  1. Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.

a.

∮ C y 2 d x + x 2 d y

C é a fronteira do quadrado D = - 1,1 × - 1,1

Passo 1

OIii, nesse exercício vamos usar truques para resolver os nossos problemas. Na seção 6.3 tivemos que exaustivamente calcular as integrais de linha, agora temos o teorema de Green que diz

∮ C F x , y ⋅ d r = ∫ ∫ R ∇ × F d A

Outra maneira de ver isso é

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

OU seja, o trabalho do nosso campo ao percorrer a borda é igual ao fluxo que atravessa a área dentro dessa borda. O pratico do teorema de Green é que não precisamos mais procurar por parametrizações. É só calcular áreas. Então bora cair dentro!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos o seguinte campo

F = y 2 ,   x 2

Vamos então usar o teorema de Green.

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

Vamos calcular o rotacional dessa função

= ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

= 2 x - 2 y

Passo 3

Bora integrar!!!

∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

= ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 2 x - 2 y d x d y

= 2 ∫ - 1 1 x 2 2 - x y - 1 1   d y

= 2 ∫ - 1 1 1 2 1 2 - - 1 2 - y 1 - - 1   d y

= - 4 ∫ - 1 1 y   d y

=   - 4 y 2 2 - 1 1

=   - 2   1 2 - - 1 2

= 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ C y 2 d x + x 2 d y = 0

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