Enunciado

Verifique, usando argumento geométricos, que a maior escolha possível para o δ para que se possa mostrar que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 é δ = 9 + ϵ - 3 .

Passo 1

Oi galerinha do RA, bora resolver mais um juntinho?

Dado o problema:

lim x → 3 ⁡ x 2 = 9

Queremos provar que para todo ϵ > 0 , existe δ > 0 tal que se 0 < x - 3 < δ , então x 2 - 9 < ϵ .

Entender a definição de limite: O limite

lim x → 3 ⁡ x 2 = 9

significa que quando x   se aproxima de 3, x 2 se aproxima de 9.

Manipulação algébrica: Vamos começar manipulando a expressão x 2 - 9 .

Podemos fatorar isso como x + 3 ⋅ x - 3 , porque x 2 - 9 é um quadrinômio da forma x + 3 x - 3 .

Passo 2

Visualização geométrica: Sabemos que x - 3 representa a distância entre x   e   3 no eixo x . Assim, podemos pensar em | x + 3 | como a distância entre x   e - 3 no eixo x.

Estamos interessados em restringir essa distância para provar que x 2 - 9 é pequeno o suficiente.

Escolha estratégica de ϵ e δ :   Vamos escolher ϵ como a restri��ão para x 2 - 9 ou seja, queremos que x 2 - 9 < ϵ .

Substituição direta: Vamos substituir x 2 - 9 por x + 3 ⋅ x - 3   na desigualdade x 2 - 9 < ϵ

x + 3 ⋅ x - 3 < ϵ

Escolha de δ : Como queremos controlar a expressão x + 3 ⋅ x - 3 , podemos escolher δ de modo que | x + 3 | seja restrito por alguma expressão envolvendo ϵ .

Observamos que | x + 3 | estará restrito se | x - 3 | estiver restrito.

Então, podemos escolher δ de forma que | x - 3 | esteja restrito por ϵ x + 3 .

Passo 3

Testar limites especiais: Como | x + 3 | pode ser 0, precisamos considerar limites pela direita e pela esquerda de | x = 3 |

Finalização da prova: Vamos manipular a expressão | x + 3 | de modo a restringi-la em termos de ϵ e δ .

x + 3 < 9 + ϵ

Então, podemos escolher δ como δ = 9 + ϵ - 3

Assim, para todo ϵ > 0 , se 0 < x - 3 < 9 + ϵ - 3 , então x 2 - 9 < ϵ , o que prova que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 .

Resposta

Demonstração.

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