Enunciado

Mostre que f é contínua em ( - oo , oo ) .

f (x) = {[[s e n x , x < pi // 4],[cos x , x >= pi // 4]])

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado pede para mostrarmos que a função dada é contínua em toda a reta real. Todavia, existe uma particularidade: a função dada é definida por partes, ela é definida por duas equações. Assim, temos que mostrar que as partes são contínuas e, além disso, que no ponto de colagem a função é contínua.

Para isso, o limite deve coincidir com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro que f é contínua para x != (pi)/(4) .

f (x) = cos x é uma função contínua (função trigonométrica) em seu domínio. O mesmo vale para f (x) = s e n x .

Assim, para x != (pi)/(4) , f é uma uma função contínua.

Passo 3

Vamos verificar agora se f é contínua em x = (pi)/(4) . Para isso, calculemos os limites laterais. Pela esquerda ( x < pi // 4 ), f (x) = s e n x , de modo que

underset(x -> pi // 4^-)(lim) f ( x ) = underset(x -> pi // 4^-)(lim) s e n x = s e n pi // 4 = (sqrt(2))/(2)

À direita ( x > pi // 4 ), f (x) = cos x , de modo que

underset(x -> pi // 4^+)(lim) f (x) = underset(x -> pi // 4^+)(lim) cos x = cos pi // 4 = (sqrt(2))/(2)

Como os limites laterais são iguais, temos que o limite existe e vale (sqrt(2))/(2) :

underset(x -> pi // 4)(lim) f ( x ) = (sqrt(2))/(2)

Além disso, precisamos agora saber se o limite no ponto é igual a função neste ponto, sendo esse o segundo requisito para continuidade das funções, para

x = pi // 4

f (pi // 4) = cos pi // 4 = sqrt(2) // 2 = underset(x -> pi // 4)(lim) f ( x )

Assim, f é contínua em x = (pi)/(4) . Desta forma, provamos que f é contínua em toda parte.

Resposta

Demonstração.

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Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoa) f é definida em x = 2 ? b) f é contínua em x = 2 ?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoa) Existe f ( 1 ) ?b) Existe lim x → 1 + ⁡ f ( x ) c) Existe lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) d) f é contínua em x = 1 ?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoa) Existe f ( - 1 ) ?b) Existe lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) c) Existe lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) d) f é contínua em x = - 1 ?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoQue valor deve ser atribuído a f ( 2 ) para tornar a função estendida contínua em x = 2 ?
representada graficamente na figura a seguir: f é contínua em quais valores de x?