Enunciado

Verifique que c 3 3 é o valor máximo de x y z , com x , y , z ≥ 0 , sujeito à restrição x + y + z = c para c > 0 . Conclua que a média geométrica de três números positivos é sempre menor ou igual à média aritmética dos mesmos.

Passo 1

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x y z  

g =   x + y + z - c

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, a soma deve ser igual a c ).

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para verificar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = y z , x z , x y

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 1,1 , 1

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

y z , x z , x y = λ 1,1 , 1     x + y + z - c = 0

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

y z = λ x z = λ x y = λ   x + y + z = c

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações. De fato, como x = λ z , o nosso sisteminha fica

y z = λ λ z y = λ λ z + y + z = c

Isolando λ = y z , nos sobra:

y z = 1 y + y + z = c

O resultado deste sisteminha fornece y = z = c 3 . Voltando atrás um pouco, isto nos dá λ = y z = c 9 e , voltando mais um pouco, temos x = λ z = c 3 .

Logo, o valor extremo da função f é dado por:

f = x y z = c 3 3  

Como queríamos verificar!

Passo 4

Agora, quanto à segunda parte da questão, lembramos que a média geométrica M G dso múmeros x , y e z é dada por

M G = x y z 3

Por outro lado, a média aritmética é dada por

M A = x + y + z

Mas, x + y + z é o que acabamso de chamar de c ! Logo, M A = c .

Agora, nos perguntamos: qual o valor máximo que M G pode assumir? Ora, acabamos de obter que o máximo de x y z em função de c é c 3 3 . Logo, o máximo de M G deve ser c 3 ! Mas c 3 = M A !

Concluímos que, para quaisquer 3 valores x , y e z , a média geométrica destes será, NO MÁXIMO, igual à média aritmética, como queríamos provar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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