Enunciado

Quando uma viga uniforme é suportada por uma fundação elástica, a equação diferencial para sua deflexão y ( x ) é

d 4 y d x 4 + 4 a 4 y = w x E I

Em que a é uma constante. No caso em que a = 1 , encontre a deflexão y ( x ) de uma viga elasticamente suportada de comprimento π que está engastada em concreto em ambos os extremos quando a carga concentrada w 0 é aplicada em x = π 2 . [Sugestão: Use a tabela de transformadas de Laplace no Apêndice I I .]

Passo 1

Salveeee cara! Saca só, queremos resolver essa equação aqui:

d 4 y d x 4 + 4 y = w x E I

Para w x = w 0 δ x - π 2

Além disso, como é uma viga em balanço, temos

y 0 = 0             y ' 0 = 0           y π = 0             y ' π = 0

Belezinha, pra resolvermos nossa equação diferencial, vamos usar a Transformada de Laplace, ok?

Então antes de começarmos, deixa só eu lembrar algumas transformadas aqui pra você:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L y ( n ) t = s n . Y s - s n - 1 . y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - y n ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora vamos!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

d 4 y d x 4 + 4 y = w 0 E I δ x - π 2

Vai ficar assim:

s 4 . Y s - s 3 . y 0 - s 2 y ' 0 - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 + 4 Y ( s ) = w 0 E I e - s π 2

Sabemos que y 0 = 0   e   y ' 0 = 0 .

O y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) a gente deixa assim por enquanto, porque são constantes que não sabemos o valor, certo?

s 4 . Y s - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 + 4 Y ( s ) = w 0 E I e - s π 2

Y s . s 4 + 4 = w 0 E I e - s π 2 + s y ' ' 0 + y ' ' ' ( 0 )

Isolando Y ( s ) :

Y s = w 0 E I s 4 + 4 e - s π 2 + s s 4 + 4 y ' ' 0 + 1 s 4 + 4 y ' ' ' 0

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, fechou?

Passo 3

Temos

Y s = w 0 E I s 4 + 4 e - s π 2 + s s 4 + 4 y ' ' 0 + 1 s 4 + 4 y ' ' ' 0

Vamos manipular os nossos termos algebricamente para chegarmos em transformadas conhecidas:

Y s = w 0 E I 4 s 4 + 4 e - s π 2 4 + 2 s s 4 + 4 y ' ' 0 2   + 4 s 4 + 4 y ' ' ' 0 4

Então, usando a tabela de transformadas que temos no apêndice do seu livro, encontramos:

y x = w 0 4 E I s e n x - π 2 . cosh ⁡ x - π 2 - cos ⁡ x - π 2 . s e n h x - π 2 u x - π 2 + y ' ' 0 2 . s e n x . s e n h x + y ' ' ' 0 4 s e n x . cosh ⁡ x - cos ⁡ x . s e n h x

Agora precisamos encontrar o valor de y ' ' ( 0 ) e de y ' ' ' ( 0 ) ok?

E pra isso, vamos usar y π = 0             y ' π = 0

Passo 4

Temos

y x = w 0 4 E I s e n x - π 2 . cosh ⁡ x - π 2 - cos ⁡ x - π 2 . s e n h x - π 2 u x - π 2 + y ' ' 0 2 . s e n x . s e n h x + y ' ' ' 0 4 s e n x . cosh ⁡ x - cos ⁡ x . s e n h x

Usando y π = 0             y ' π = 0 , temos

y ' ' 0 = w 0 E I . s e n h π 2 s e n h ( π )

y ' ' ' 0 = - w 0 E I . cosh ⁡ π 2 s e n h ( π )

Então:

y x = w 0 4 E I s e n x - π 2 . cosh ⁡ x - π 2 - cos ⁡ x - π 2 . s e n h x - π 2 u x - π 2 + w 0 2 E I . s e n h π 2 s e n h ( π ) . s e n x . s e n h x - w 0 4 E I . cosh ⁡ π 2 s e n h ( π ) s e n x . cosh ⁡ x - cos ⁡ x . s e n h x

E com essa pequena expressão, damos adeus a esse volume do nosso querido livro do Denis :’)

Resposta

y x = w 0 4 E I s e n x - π 2 . cosh ⁡ x - π 2 - cos ⁡ x - π 2 . s e n h x - π 2 u x - π 2 + w 0 2 E I . s e n h π 2 s e n h ( π ) . s e n x . s e n h x - w 0 4 E I . cosh ⁡ π 2 s e n h ( π ) s e n x . cosh ⁡ x - cos ⁡ x . s e n h x

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