Enunciado

Vimos, no exemplo 9, que a equação cos ⁡ x = x tem exatamente uma solução.

a) Use um gráfico para mostrar que a equação cos ⁡ x = 0,3 x tem três soluções e encontre-as com duas casas decimais de precisão.

b) Encontre um valor aproximado m tal que a equação cos ⁡ x = m x tenha exatamente duas soluções.

Passo 1

Opa, bora lá! Temos a equação:

cos ⁡ x = 0,3 x

E a gente quer achar as três soluções dessa equação graficamente! Pra isso a gente vai se inspirar no exemplo 9 dessa secção. Nele temos a equação:

cos ⁡ x = x

E é plotada as curvas:

y = cos ⁡ x

y = x

Assim o ponto de intersecção dessas duas curvas é a solução de cos ⁡ x = x . Beleza?!

Então aqui vamos plotar as curvas:

y = cos ⁡ x

y = 0,3 x

E procurar pelas 3 intersecções.

Na letra (b) temos:

cos ⁡ x = m x

E queremos encontrar um valor aproximado m para que a equação tenha exatamente duas soluções. Então vamos ter:

y = cos ⁡ x

y = m x

Pra isso a gente vai precisar "chutar" valores pra m . Só que a gente vai fazer isso usando o bom senso! Se m aumenta a inclinação da reta aumenta, se ele diminui a inclinação diminui...se ele fica negativo a reta passa a ser decrescente.

Então vamos olhar a reta da letra (a) e ver se ela nos dá uma luz pro melhor chute inicial!

Passo 2

Queremos achar as soluções da equação cos ⁡ x = 0,3 x graficamente. Para isso, plotamos as funções f x = cos ⁡ x e g x = 0,3 x e olhamos para seus pontos de encontro:

Assim, as soluções são:

x = - 3,29 ,             x = - 2,36             e             x = 1,20

Passo 3

Agora a gente precisa pensar no melhor m . Sabemos que:

cos ⁡ x = 0,3 x

Tem 3 soluções e:

cos ⁡ x = x

Tem uma solução. Olhando pro gráfico acima dá pra perceber que se aumentarmos a inclinação da reta, então podemos chegar a um ponto com duas intersecções, mas se aumentarmos muito só vai ter uma intersecção, como em cos ⁡ x = x .

Ou seja, precisamos de um m que seja maior que 0,3 e menor que 1 . Vamos testar m = 0,4 :

Ops, só uma intercepção. Então m deve estar entre 0,3 e 0,4 . Vamos testar 0,35 :

Quase lá! O m tem que ser só um pouco menor que 0,35 . Vamos testar m = 0,34 :

Perfeitoooo!

Temos então que:

cos ⁡ x = 0,34 x

Tem exatamente duas soluções!

Resposta

x = - 3,29 ,             x = - 2,36             e             x = 1,20

m = 0,34

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