Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais

Teoria Completa

Introdução

Já parou pra pensar sobre a proporcionalidade das coisas em nosso dia a dia?? As proporções, de maneira direta ou indireta, estão presentes na maioria das coisas que fazemos.

Dê uma olhada nesses dois exemplos:

1º Quanto mais você estuda no Responde Aí, mais fácil fica de tirar aquele notão!!!

Perceba que nesse caso, quanto mais você faz algo (estudar no Responde Aí), mais aumentam suas chances em algo (mandar bem na prova).

Em casos como esse, as grandezas dependem uma das outras e a taxa de crescimento de uma está diretamente ligada com a taxa de crescimento da outra. Podemos ver essas relações no dia a dia em diversas ocasiões:

- Quanto mais carros nas ruas, mais trânsito.

- Quanto mais pessoas no banco, mais fila.

- Quanto mais exercícios físicos eu faço, mais saudável eu fico.

Todas essas relações de crescimentos entre grandezas são chamadas de DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.

2º Quanto mais passam os dias do mês, menos dinheiro eu tenho na minha conta.

Aqui, quanto mais acontece algo (passar os dias do mês), menos temos de algo (dinheiro na conta).

Nesses casos, as grandezas também dependem uma das outras assim como no anterior, porém, a diferença aqui é que o aumento da taxa de crescimento de uma das grandezas faz com que haja uma taxa de decrescimento na outra. Podemos ver casos como esses em:

- Quanto mais rápido você vai, menos tempo demora.

- Quanto mais pessoas na festa, menos bebida terá para cada uma.

Essas relações entre as grandezas são chamadas de INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.

Como definir Grandezas?

Beleza, mas o que são grandezas?

Para nossos cálculos, vamos considerar que grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. E por que isso é importante?

Pense no seguinte problema:

Um homem vai ao açougue e pretende gastar 45,00 reais em carne para fazer um churrasco no fim de semana. Sabendo que 1 quilo ( K g ) de carne que custa 15,00 reais, quantos gramas ( g ) ele conseguirá comprar com 45,00 reais?

De início já podemos perceber que se trata de grandezas diretamente proporcionais, pois quanto mais dinheiro o homem tem, mais carne ele poderá comprar. Fazendo uma continha simples temos que:

45 15 = 3

Ou seja, o homem tem 3 vezes mais dinheiro que o necessário para comprar 1 k g , logo, ele também pode comprar 3 vezes mais carne. Então, com seus 45,00 reais ele poderá comprar 3 k g de carne.

Já descobrimos que agora ele pode comprar 3 K g de carne, mas o enunciado pergunta quantos gramas ele poderia comprar. O que fazer??

Relembrando...

Bom, para isso precisamos relembrar como converter unidades de medidas, que nada mais é que transformar uma medida como a grama ( g ) para quilograma ( K g ) , centigrama ( c g ) , etc. E para isso, lá vai um macete pra salvar sua vida:

Mas isso serve apenas para as gramas?

Não!! Você pode usar isso em muitos outros tipos de grandezas e obter algo do tipo:

Perceba que a Unidade u não está declarada, isso quer dizer que essa unidade pode ser de diferentes tipos: Metro, grama, litro...

MUUUUUUUITO IMPORTANTE!!! Essas regras não valem para todos os tipos de medidas. Algumas grandezas (normalmente associadas com o tempo) tem regras únicas e, portanto, não se aplicam tais transformações. Entre essas grandezas estão:

- Temperatura.

- Meses, semanas, dias.

- Décadas, séculos, milênios.

Agora já temos todas as ferramentas necessárias, bora terminar o exercício...

Já tinhamos achado anteriormente que a quantidade de carne que o homem conseguiria compra com 45,00 reais era 3 K g . Agora é só colocar em prática o que vimos nas tabelas:

1 K g = 1000 g

Logo:

3 K g = 3 × 1000 = 3000 g

E tá resolvido, com 45,00 reais o homem conseguirá comprar 3000 gramas de carne.

E aí, que tal agora fazer alguns exercícios de fixação para ficar craque!?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Um menino diz para sua mãe que quer comprar um bolo para comemorar seu aniversário. Antes de comprar, sua mãe lhe pergunta a quantidade de amigos que ele convidou para sua festa, para saber a quantidade certa que deve comprar. Neste exemplo, as grandezas se relacionam de maneira direta ou inversa?

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Passo 1

Para decidir se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, precisamos antes saber quais são elas.

O enunciado diz que a mãe do menino irá comprar o bolo baseado no número de amigos, ou seja, a relação nesse caso é entre o bolo e o número de amigos.

Pronto, já encontramos as duas grandezas do exercício.

Passo 2

Agora que achamos as grandezas nosso trabalho fica bem mais fácil.

Intuitivamente podemos perceber que quanto mais amigos, mais bolo a mãe do menino precisará comprar.

Podemos notar aí que há uma relação de crescimento, quanto mais um cresce, mais o outro crescerá. Logo a relação é diretamente proporcional.

Resposta

As grandezas são diretamente proporcionais.

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Relacione as grandezas e determine se são diretamente ou inversamente proporcionais.

a) Velocidade do veículo – Tempo para completar o trajeto.

b) Tempo de prática – Habilidade.

c) Tempo de descanso – Cansaço.

d) Tempo de viagem em um táxi – Preço da corrida.

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Passo 1

Letra a)

Quanto mais rápidos percorremos um determinado trajeto, menor é o tempo gasto. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Passo 2

Letra b)

Quanto mais praticamos algo, mais habilidade adquirimos. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

Letra c)

Quanto menos tempo descansamos, mais nos sentimos cansados. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Passo 4

Letra d)

Quanto mais tempo dentro do táxi, maior será o preço da corrida. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.

Resposta

a) Inversamente Proporcionais.

b) Diretamente Proporcionais.

c) Inversamente Proporcionais.

d) Diretamente proporcionais.

Exercício Resolvido #3

Mundoeducacao – exercícios sobre grandezas inversamente proporcionais – Adaptado.

Um carro está a uma velocidade 2 c em uma rodovia. Sabendo que 2 c é metade da velocidade máxima permitida nessa rodovia, assinale a alternativa verdadeira:

a) Como velocidade e tempo gasto no percurso são grandezas diretamente proporcionais, se a velocidade do automóvel for 4c, ele gastará o dobro do tempo no percurso.

b) Se a velocidade do carro for igual à velocidade máxima permitida na rodovia, o automóvel percorrerá o dobro da distância que seria capaz de percorrer na velocidade inicial.

c) Quando a velocidade do automóvel for igual a c, sua velocidade será igual à velocidade máxima da rodovia.

d) As grandezas velocidade e distância percorrida são inversamente proporcionais.

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Passo 1

Letra a)

Falso!

Velocidade e tempo gasto são grandezas inversamente proporcionais, pois quanto maior for a velocidade do carro, menor será o tempo para completar o percurso.

Passo 2

Letra b)

Verdadeiro!

A velocidade inicial é 2 c , caso essa velocidade seja dobrada ( 4 c ) e o tempo se manter o mesmo, o carro será capaz de percorrer o dobro da distância que percorreria anteriormente.

Passo 3

Letra c)

Falso!

A velocidade máxima da pista é o dobro da velocidade inicial do carro ( 2 c ), ou seja a velocidade máxima = 4 c .

Passo 4

Letra d)

Falso!

Tomando um período de tempo fixo, quanto maior for sua velocidade nesse período, maior será a distância percorrida, portanto, as grandezas velocidade e distância são diretamente proporcionais.

Resposta

Alternativa b).

Exercício Resolvido #4

Autoria própria.

Um jovem possui 100 g de açúcar e necessita do dobro dessa quantia para fazer uma vitamina.

a) Qual é essa quantia em K g (quilograma)?

b) Qual é essa quantia em m g (miligrama)?

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Passo 1

De início já podemos perceber que para obter o resultado precisamos fazer conversões, porém, antes disso, precisamos encontrar o resultado em gramas.

O jovem precisa de duas vezes mais açúcar do que ele tem no momento, logo:

X = 2   ∙ 100 g

X = 200 g

Então, o jovem irá precisar de 2 gramas de açúcar.

Passo 2

Letra a)

Agora precisamos converte gramas ( g ) para quilogramas ( K g ). Sabemos que 1 K g = 1000 g , logo:

X = 200 1000

X = 0,2 K g

Passo 3

Letra b)

Aqui, precisamos converter gramas ( g ) para miligramas ( m g ). Sabemos que 1 g = 1000 m g , logo:

X = 200 ∙   1000

X = 200.000 m g

Resposta

a) 0.2 K g

b) 200.000 m g

Exercício Resolvido #5

Autoria própria.

Qual das afirmações é correta sobre as grandezas proporcionais:

1. A velocidade de um maratonista e o tempo gasto para completar o percurso são grandezas diretamente proporcionais.

2. As horas extras de trabalho e o salário do funcionário são grandezas inversamente proporcionais.

3. A área de um retângulo e comprimento dos seus lados são grandezas diretamente proporcionais.

4. A quantidade de peças produzidas e o número de máquinas são grandezas inversamente proporcionais.

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Passo 1

1. Falso – Quanto maior a velocidade do maratonista, em menor tempo ele completará o percurso. As grandezas são inversamente proporcionais.

Passo 2

2. Falso – Quanto mais horas extras o funcionário faz, maior será o seu salário. As grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

3. Verdadeiro – A área do retângulo é dada pela fórmula A =   L ∙ L , portanto, quanto maior for o comprimento dos lados, maior será a área do retângulo.

Passo 4

4. Falso – Quanto mais máquinas em trabalho, mais peças são produzidas. As grandezas são diretamente proporcionais.

Resposta

Alternativa 3.

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