Racionalização de Denominadores

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Teoria

A racionalização de denominadores serve para transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.

Assim:

Como Fazer Racionalização?

A racionalização, nada mais é do que você pegar a fração com o denominador contendo raízes, e multiplicar o numerador e denominador por um fator racionalizante, também chamado de conjugado do número.

Esse fator vai fazer com que a nossa fração passe a ter um denominador sem raízes!

Por exemplo:

Nesse caso o fator racionalizante é .

No vídeo abaixo a gente te explica passo a passo como fazer a racionalização! 👇

Ou, se você preferir, continua comigo no textinho! 👇

Existem três casos diferentes que nos ajudam a escolher o melhor fator racionalizante. Bora dar uma conferida neles?

Caso 1 - Raiz quadrada no denominador

Nesse primeiro caso vamos ver como fazer a racionalização quando temos o denominador com uma raiz quadrada.

Como por exemplo:

O fator racionalizante nesse caso sempre será a própria raiz contida no denominador, nesse caso, .

Então fazemos:

Prontinho!

Caso 2 - Raiz de índice diferente que 2 no denominador

Nesse caso, vamos ter uma fração onde o denominador é parecido com:

O fator racionalizante será:

Exemplo:

Então podemos resolver fazendo:

Caso 3 - Denominador com Soma ou Subtração

Nesse caso, deve existir pelo menos uma raiz no denominador. Então temos as seguintes possibilidades:


Denominador e fator racionalizante correspondente.
Denominador e fator racionalizante correspondente.

Exemplo:

Como temos , o fator racionalizante vai ser .

Agora é só multiplicar o fator no denominador e numerador da nossa fração

Precisamos resolver esse produto no denominador:

Agora voltamos para fração:

Aweee!

Agora que você já esta sacando tudo sobre Racionalização de Denominadores, bora praticar com exercícios?!

Caso 1 - Raiz quadrada no denominador

Caso 2 - Raiz de índice diferente que 2 no denominador

Caso 3 - Denominador com Soma ou Subtração

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Indique qual seria o fator racionalizante das seguintes frações:

  1. 1 12
  2. 17 3 4
  3. 1 7 - 2  

Passo 1

Para resolver esse exercício, vamos ver em quais casos cada um se encaixa.

  1. 1 12
  2. No denominador temos apenas uma raiz quadrada:

    12

    Então entramos no primeiro caso, onde o fator racionalizante é a própria raiz quadrada.

    Assim, fator racionalizante:

    12

    Passo 2

  3. 17 3 4
  4. Temos agora no denominador apenas uma raiz, mas seu índice é diferente de 2, assim estamos o segundo caso, e o fator integrante fica dessa forma:

    a n - m n

    O a é o radicando, nesse caso vale 3.

    O n é o índice da raiz, nesse caso temos o índice 4.

    E m é o expoente (ou número que está elevando) do radicando, nesse caso não está elevado a nenhum número explicito, ou seja, o valor do expoente é 1.

    Assim, temos:

    3 4 - 1 4 = 3 3 4

    Ou,

    27 4

    Passo 3

  5. 1 7 - 2  

Agora temos uma soma no denominador, e entramos no terceiro caso, onde é só trocarmos o sinal do meio.

Como temos uma subtração:

7 - 2

O fator racionalizante é uma soma:

7 + 2

Resposta

  1. 12
  2. 27 4
  3. 7 + 2

Exercício Resolvido #2

Racionalize o denominador das frações :

  1. 3 2 6
  2. 4 7 5

Passo 1

  1. Para fazer a racionalização, precisamos primeiro identificar qual o fator integrante que vamos usar.
  2. 3 2 6

    Nesse caso, temos apenas uma raiz no denominador e ela vai ser o nosso fator racionalizante :

    6

    Descoberto o fator racionalizante, é só mmultiplicar o denominador e numerador da nossa fração por ele: 3 2 6 × 6 6 = 3 2 × 6 6 2 = 3 12 6 = 12 2

    Para simplificar, podemos escrever:

    12 = 4 × 3 = 4 × 3 = 2 3

    Assim, ficamos com :

    2 3 2 = 3

    Passo 3

  3. Novamente, temos apenas uma raiz quadrada no denominador:

4 7 5

Então, ela será nosso fator integrante:

5

Vamoss multiplicar nosso denominador e nnumerador pelo fator integrante que encontramos :

4 7 5 × 5 5 = 4 5 7 5 2 = 4 5 7 5 2 = 4 5 7 × 5 = 4 5 35

Resposta

  1. 3
  2. 4 5 35

Exercício Resolvido #3

Racionalize:

  1. 1 7 2 3
  2. 3 5 4   6

Passo 1

  1. 1 7 2 3
  2. Vamos descobrir qual o nosso fator racionalizante, nesse caso temos uma raiz de índice diferente de 2 no denominador, assim temos que nosso fator integrante vai ser:

    a n - m n

    Onde,

    a é o radicando que temos (a=7)

    n é o índice da nossa raiz (n=3)

    m é o número que está elevando nosso radicando (m=2)

    Assim, o nosso fator racionalizante é:

    7 3 - 2 3 = 7 1 3 = 7 3

    Agora é só multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que descobrimos:

    1 7 2 3 × 7 3 7 3 = 7 3 7 2 × 7 3 = 7 3 7 2 + 1 3 = 7 3 7 3 3 = 7 3 7

    Passo 2

  3. 3 5 4   6

Novamente temos uma raiz com índice diferente de 2, por isso para descobrir o fator racionalizante vamos usar a mesma ideia.

a n - m n

Onde,

a é o radicando que temos (a=5)

n é o índice da nossa raiz (n=6)

m é o número que está elevando nosso radicando (m=4)

Assim, nosso fator racionalizante é:

5 6 - 4 6 = 5 2 6

Agora é só multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que encontramos:

3 5 4   6 × 5 2 6 5 2 6 = 3 × 5 2 6 5 4 × 5 2   6 = 3 5 2 6 5 4 + 2   6 = 3 25 6 5 6   6 = 3 25 6 5

Resposta

  1. 7 3 7
  2. 3 25 6 5

Exercício Resolvido #4

Racionalize o denominador:

2 5 + 2

Passo 1

Vamos descobrir qual o fator racionalizante da nossa fração, podemos ver que o denominador possui uma soma, e por isso entra no terceiro caso.

Têm-se isso:

5 + 2

Nosso fator racionalizante apenas troca o sinal do meio, como é uma soma, vira uma subtração:

5 - 2

Passo 2

Agora que descobrimos basta apenas multiplicar o denominador da nossa fração por esse fator.

2 5 + 2 × 5 - 2 5 - 2 = 2 × 5 - 2 5 + 2 × 5 - 2

No denominador, podemos usar um produto notável que diz:

a + b × a - b =     a 2 - b 2

Se você não lembrar, é só fazer à distributiva.

2 × 5 - 2 5 + 2 × 5 - 2 = 10 - 2 2 5 2 - 2 2 = 10 - 2 2 25 - 2 = 10 - 2 2 2 3

Resposta

10 - 2 2 23

Exercício Resolvido #5

Racionalize o denominador de:

a + b a - b

Passo 1

Vamos descobrir o fator racionalizante, da nossa fração. Temos uma subtração no denominador, e entramos no terceiro caso.

Como, temos:

a - b

Vamos inverter o sinal do meio, e vamos ter como fator racionalizante:

a + b

Passo 2

Agora é só, multiplicar o numerador e denominador pelo fator que encontramos:

a + b a - b × a + b a + b = a + b 2 ( a - b ) × ( a + b )

Agora, no denominador e numerador vamos usar produtos notáveis:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

a - b × a + b = a 2 - b 2

Assim, temos:

a + b 2 ( a - b ) × ( a + b ) = a 2 + 2 × a × b + b 2 a 2 - b 2 = a + 2 a × b + b a - b

Resposta

a   + 2 a b + b a - b

Exercício Resolvido #6

Racionalize e deixe em uma única fração: 1 7 + 8 7 4

Passo 1

Vamos racionalizar cada uma separadamente.

A primeira fração:

1 7

Possui apenas uma raiz quadrada no denominador, e ela será nosso fator integrante: · .

Agora, vamos multiplicar o numerador e denominador por esse fator:

1 7 × 7 7 = 7 7 2 = 7 7

Passo 2

Agora vamos racionalizar a segunda fração:

8 7 4

Temos uma raiz de índice diferente do dois no denominador, assim o racionalizante será:

a n - m n

“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador (n=3)

“a” é o radicando da raiz que temos (a=7)

“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado (m=1)

Assim, nosso fator racionalizante será:

7 4 - 1 4 = 7 3 4

Agora vamos multiplicar nossa fração:

8 7 4 × 7 3 4 7 3 4 = 8 7 3 4 7 × 7 3 4 = 8 7 3 4 7 1 + 3 4 = 8 7 3 4 7 4 4 = 8 7 3 4 7

Passo 3

Agora vamos deixar em uma única fração:

1 7 + 8 7 4 = 7 7 + 8 7 3 4 7 = 7 + 8 7 3 4 7  

Resposta

7 + 8 7 3 4 7

Exercício Resolvido #7

Resolva:

19 19 - 18 - 18 19 - 18

Passo 1

Para resolver, primeiro vamos racionalizar cada uma das frações e depois fazemos a subtração.

Primeira fração:

19 19 - 18

Temos uma soma no denominador, o fator integrante será:

19 + 18 Agora é só multiplicar o numerador e denominador da nossa fração pelo fator que encontramos: 19 19 - 18 × 19 + 18 19 + 18 = 19 × ( 19 + 18 ) ( 19 - 18 ) × ( 19 + 18 )

Fazendo as distributivas e usando produtos notáveis no denominador, temos:

19 × ( 19 + 18 ) 19 - 18 × 19 + 18 = 19 2 + 19 × 18 19 2 - 18 2 =   19 + 19 × 18 19 - 18

= 19 + ( 19 × 18 )

Passo 2

Agora, vamos para a segunda fração:

18 19 - 18

O Fator racionalizante será o mesmo, então vamos multiplicar o numerador e denominador:

18 19 - 18 × 19 + 18 19 + 18 = 18 × ( 19 + 18 ) ( 19 - 18 ) × ( 19 + 18 )

Novamente, fazendo as distributivas e usando produtos notáveis no denominador, temos:

18 × ( 19 + 18 ) 19 - 18 × 19 + 18 = 19 × 18 + 18 2 19 2 - 18 2 =   19 × 18 + 18 19 - 18

= 19 × 18 + 18

Passo 3

Agora vamos fazer a subtração:

19 19 - 18 - 18 19 - 18 = 19 + 19 × 18 - 19 × 18 + 18 = 19 - 18 = 1

Resposta

1

Exercício Resolvido #8

Racionalize:

a - 3 4

Passo 1

Para resolver, primeiro vamos relembrar que quando temos expoente negativo na potenciação, nós podemos inverter a fração:

a - 3 4 = 1 a 3 4

Outra coisa vale lembrar que quando temos um expoente em forma de fração, nós também podemos escrever como uma raiz, onde o numerador vira o expoente do radicando e o denominador vira o índice da nossa raiz:

1 a 3 4 = 1 a 3 4

Passo 2

Agora, para racionalizar precisamos descobrir o fator racionalizante, e temos uma raiz de índice diferente de 2, assim:

a n - m n

“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador (n=4)

“a” é o radicando da raiz que temos (a=a)

“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado (m=3)

Assim, nosso fator racionalizante é:

a 4 - 3 4 = a 4

Vamos multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que encontramos:

1 a 3 4 × a 4 a 4 = a 4 a 3 × a 4 = a 4 a 3 + 1 4 = a 4 a 4 4 = a 4 a

Resposta

a 4 a