Racionalização de Denominadores

Teoria Completa

Introdução

Falaa ae meus queridosss, saca só essas duas fraçõezinhas:

1 3     e 3 3

E se eu te contar que elas são equivalentes??

É Isso mesmo gente, se você resolver essas contas, o resultado vai ser o mesmoooo pra ambas as frações.

Da uma olhada na primeira fração: 1 3

Podemos observar que no denominador temos uma raiz, e quando se trata de frações, por uma questão de facilitar os cálculos manuais, VOCÊ NUNCA VAI QUERER TER RAIZES NO DENOMINADOR.

É serio mesmo, sempre que você se deparar com uma fração com uma ou mais raízes no denominador, pula fora dessa.

Mas pra fazer isso, vamos aprender a usar uma coisinha chamada RACIONALIZAÇÃO.

A racionalização, nada mais é do que você pegar a fração com o denominador contendo raízes, e multiplicar o numerador e denominador por um FATOR RACIONALIZANTE.

Esse fator vai fazer com que a nossa fração passe a ter um denominador sem raízes.

Voltando ao nosso exemplo de inicio, a fração foi racionalizada multiplicando 3 (fator racionalizante), no numerador e denominador da nossa fração:

1 × 3 3 × 3 = 3 3

Belezinha, mas como que vamos saber que fator é esse que vamos usar ???

Relaxa, vamos ver três casos. Ai quando você se deparar com exercícios, basta ver em que caso entra.

Fator racionalizante

  • 1° Caso : Denominador com uma raiz quadrada
  • Por exemplo:

    5 2 5

    Vamos olhar somente para o denominador, temos uma raiz quadrada, logo entra nesse primeiro caso.

    O fator racionalizante nesses casos, sempre vai ser a própria raiz. Assim, no nosso exemplo o fator será 5 , agora bastam multiplicarmos o numerador e denominador da nossa fração original por ele:

    5 × 5 2 5 × √ 5

    Agora é só resolver:

    5 × 5 2 5 × √ 5 = 5 5 2 × 5 = 5 2  

    Então não se esqueça de nesse caso o fator é a própria raiz quadrada que está no denominador.

  • 2° Caso: Denominador com uma raiz, onde o índice é diferente de dois.
  • Nesse caso, vamos ter uma fração onde o denominador é parecido com: a m n

    O fator racionalizante será:

    a n - m n

    Exemplo: 1 7 3

    No denominador agora temos uma raiz cúbica, assim, entramos no segundo caso.

    Vamos usar a formulazinha do fator integrante:

    a n - m n

    “n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador.

    “a” é o radicando da raiz que temos

    “’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado.

    Nesse casso nosso denominador é:

    7 3

    Temos que n = 3, a =7 e m = 1.

    Assim, nosso fator fica: 7 3 - 1 3 = · · .

    Agora é só multiplicar ele, no numerador e denominador da nossa ração original:

    1 × 7 2 3 7 3 × 7 2 3

    Vamos escrever essas raízes em forma de potenciação e resolver:

    7 2 3 7 3 × 7 2 3 = 7 2 3 7 1 3   × 7 2 3 = 7 2 3 7 1 3 + 2 3     =   7 2 3 7

    Prontinho.

  • 3° Caso: Denominador com soma ou subtração, onde pelo menos um dos elementos é uma raiz quadrada.

Seguinte à ideia é, que o fator racionalizante vai ser a mesma soma (ou subtração) que temos no denominador, a única coisa que vai trocar é o sinal, ou seja:

Exemplo:

1 11 - 3

Opaaa há uma subtração no denominador, logo entramos no terceiro e ultimo caso.

Como temos 11 - 3 , o fator racionalizante vai ser 11 + 3 (só troca o sinal).

Agora é só multiplicar o fator no denominador e numerador da nossa fração

1 × ( 11 + 3 ) ( 11 - 3 ) × ( 11 + 3 ) = 11 + 3 11 - 9 = 11 + 3 2

Então é isto, vamos sempre se lembrar de que quando chegarmos num exercício que é necessário racionalizar, primeiro você vai ver em qual caso ele entra. Feito isso, basta descobrir o fator racionalizante, depois é só multiplicar ele pelo denominador e numerador da fração original que tínhamos.

Agora vamos dar aquela praticada marotaaa nos exercícios.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Indique qual seria o fator racionalizante das seguintes frações:

  1. 1 12
  2. 17 3 4
  3. 1 7 - 2  
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Passo 1

Para resolver esse exercício, vamos ver em quais casos cada um se encaixa.

  1. 1 12
  2. No denominador temos apenas uma raiz quadrada:

    12

    Então entramos no primeiro caso, onde o fator racionalizante é a própria raiz quadrada.

    Assim, fator racionalizante:

    12

    Passo 2

  3. 17 3 4
  4. Temos agora no denominador apenas uma raiz, mas seu índice é diferente de 2, assim estamos o segundo caso, e o fator integrante fica dessa forma:

    a n - m n

    O a é o radicando, nesse caso vale 3.

    O n é o índice da raiz, nesse caso temos o índice 4.

    E m é o expoente (ou número que está elevando) do radicando, nesse caso não está elevado a nenhum número explicito, ou seja, o valor do expoente é 1.

    Assim, temos:

    3 4 - 1 4 = 3 3 4

    Ou,

    27 4

    Passo 3

  5. 1 7 - 2  

Agora temos uma soma no denominador, e entramos no terceiro caso, onde é só trocarmos o sinal do meio.

Como temos uma subtração:

7 - 2

O fator racionalizante é uma soma:

7 + 2

Resposta

  1. 12
  2. 27 4
  3. 7 + 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Racionalize o denominador das frações :

  1. 3 2 6
  2. 4 7 5
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Passo 1

  1. Para fazer a racionalização, precisamos primeiro identificar qual o fator integrante que vamos usar.
  2. 3 2 6

    Nesse caso, temos apenas uma raiz no denominador e ela vai ser o nosso fator racionalizante :

    6

    Descoberto o fator racionalizante, é só mmultiplicar o denominador e numerador da nossa fração por ele: 3 2 6 × 6 6 = 3 2 × 6 6 2 = 3 12 6 = 12 2

    Para simplificar, podemos escrever:

    12 = 4 × 3 = 4 × 3 = 2 3

    Assim, ficamos com :

    2 3 2 = 3

    Passo 3

  3. Novamente, temos apenas uma raiz quadrada no denominador:

4 7 5

Então, ela será nosso fator integrante:

5

Vamoss multiplicar nosso denominador e nnumerador pelo fator integrante que encontramos :

4 7 5 × 5 5 = 4 5 7 5 2 = 4 5 7 5 2 = 4 5 7 × 5 = 4 5 35

Resposta

  1. 3
  2. 4 5 35

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Racionalize:

  1. 1 7 2 3
  2. 3 5 4   6
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Passo 1

  1. 1 7 2 3
  2. Vamos descobrir qual o nosso fator racionalizante, nesse caso temos uma raiz de índice diferente de 2 no denominador, assim temos que nosso fator integrante vai ser:

    a n - m n

    Onde,

    a é o radicando que temos (a=7)

    n é o índice da nossa raiz (n=3)

    m é o número que está elevando nosso radicando (m=2)

    Assim, o nosso fator racionalizante é:

    7 3 - 2 3 = 7 1 3 = 7 3

    Agora é só multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que descobrimos:

    1 7 2 3 × 7 3 7 3 = 7 3 7 2 × 7 3 = 7 3 7 2 + 1 3 = 7 3 7 3 3 = 7 3 7

    Passo 2

  3. 3 5 4   6

Novamente temos uma raiz com índice diferente de 2, por isso para descobrir o fator racionalizante vamos usar a mesma ideia.

a n - m n

Onde,

a é o radicando que temos (a=5)

n é o índice da nossa raiz (n=6)

m é o número que está elevando nosso radicando (m=4)

Assim, nosso fator racionalizante é:

5 6 - 4 6 = 5 2 6

Agora é só multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que encontramos:

3 5 4   6 × 5 2 6 5 2 6 = 3 × 5 2 6 5 4 × 5 2   6 = 3 5 2 6 5 4 + 2   6 = 3 25 6 5 6   6 = 3 25 6 5

Resposta

  1. 7 3 7
  2. 3 25 6 5

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Racionalize o denominador:

2 5 + 2

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Passo 1

Vamos descobrir qual o fator racionalizante da nossa fração, podemos ver que o denominador possui uma soma, e por isso entra no terceiro caso.

Têm-se isso:

5 + 2

Nosso fator racionalizante apenas troca o sinal do meio, como é uma soma, vira uma subtração:

5 - 2

Passo 2

Agora que descobrimos basta apenas multiplicar o denominador da nossa fração por esse fator.

2 5 + 2 × 5 - 2 5 - 2 = 2 × 5 - 2 5 + 2 × 5 - 2

No denominador, podemos usar um produto notável que diz:

a + b × a - b =     a 2 - b 2

Se você não lembrar, é só fazer à distributiva.

2 × 5 - 2 5 + 2 × 5 - 2 = 10 - 2 2 5 2 - 2 2 = 10 - 2 2 25 - 2 = 10 - 2 2 2 3

Resposta

10 - 2 2 23

Exercício Resolvido #5

SILVEIRA, Ênio; MARQUES, Cláudio. Matemática. São Paulo, SP: Moderna, 1995. pp.31

Racionalize o denominador de:

a + b a - b

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Passo 1

Vamos descobrir o fator racionalizante, da nossa fração. Temos uma subtração no denominador, e entramos no terceiro caso.

Como, temos:

a - b

Vamos inverter o sinal do meio, e vamos ter como fator racionalizante:

a + b

Passo 2

Agora é só, multiplicar o numerador e denominador pelo fator que encontramos:

a + b a - b × a + b a + b = a + b 2 ( a - b ) × ( a + b )

Agora, no denominador e numerador vamos usar produtos notáveis:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

a - b × a + b = a 2 - b 2

Assim, temos:

a + b 2 ( a - b ) × ( a + b ) = a 2 + 2 × a × b + b 2 a 2 - b 2 = a + 2 a × b + b a - b

Resposta

a   + 2 a b + b a - b

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Racionalize e deixe em uma única fração: 1 7 + 8 7 4

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Passo 1

Vamos racionalizar cada uma separadamente.

A primeira fração:

1 7

Possui apenas uma raiz quadrada no denominador, e ela será nosso fator integrante: · .

Agora, vamos multiplicar o numerador e denominador por esse fator:

1 7 × 7 7 = 7 7 2 = 7 7

Passo 2

Agora vamos racionalizar a segunda fração:

8 7 4

Temos uma raiz de índice diferente do dois no denominador, assim o racionalizante será:

a n - m n

“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador (n=3)

“a” é o radicando da raiz que temos (a=7)

“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado (m=1)

Assim, nosso fator racionalizante será:

7 4 - 1 4 = 7 3 4

Agora vamos multiplicar nossa fração:

8 7 4 × 7 3 4 7 3 4 = 8 7 3 4 7 × 7 3 4 = 8 7 3 4 7 1 + 3 4 = 8 7 3 4 7 4 4 = 8 7 3 4 7

Passo 3

Agora vamos deixar em uma única fração:

1 7 + 8 7 4 = 7 7 + 8 7 3 4 7 = 7 + 8 7 3 4 7  

Passo 4

Resposta

7 + 8 7 3 4 7

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Resolva:

19 19 - 18 - 18 19 - 18

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Passo 1

Para resolver, primeiro vamos racionalizar cada uma das frações e depois fazemos a subtração.

Primeira fração:

19 19 - 18

Temos uma soma no denominador, o fator integrante será:

19 + 18 Agora é só multiplicar o numerador e denominador da nossa fração pelo fator que encontramos: 19 19 - 18 × 19 + 18 19 + 18 = 19 × ( 19 + 18 ) ( 19 - 18 ) × ( 19 + 18 )

Fazendo as distributivas e usando produtos notáveis no denominador, temos:

19 × ( 19 + 18 ) 19 - 18 × 19 + 18 = 19 2 + 19 × 18 19 2 - 18 2 =   19 + 19 × 18 19 - 18

= 19 + ( 19 × 18 )

Passo 2

Agora, vamos para a segunda fração:

18 19 - 18

O Fator racionalizante será o mesmo, então vamos multiplicar o numerador e denominador:

18 19 - 18 × 19 + 18 19 + 18 = 18 × ( 19 + 18 ) ( 19 - 18 ) × ( 19 + 18 )

Novamente, fazendo as distributivas e usando produtos notáveis no denominador, temos:

18 × ( 19 + 18 ) 19 - 18 × 19 + 18 = 19 × 18 + 18 2 19 2 - 18 2 =   19 × 18 + 18 19 - 18

= 19 × 18 + 18