Teoria Completa
Introdução
Falaa ae meus queridosss, saca só essas duas fraçõezinhas:
e
E se eu te contar que elas são equivalentes??
É Isso mesmo gente, se você resolver essas contas, o resultado vai ser o mesmoooo pra ambas as frações.
Da uma olhada na primeira fração:
Podemos observar que no denominador temos uma raiz, e quando se trata de frações, por uma questão de facilitar os cálculos manuais, VOCÊ NUNCA VAI QUERER TER RAIZES NO DENOMINADOR.
É serio mesmo, sempre que você se deparar com uma fração com uma ou mais raízes no denominador, pula fora dessa.
Mas pra fazer isso, vamos aprender a usar uma coisinha chamada RACIONALIZAÇÃO.
A racionalização, nada mais é do que você pegar a fração com o denominador contendo raízes, e multiplicar o numerador e denominador por um FATOR RACIONALIZANTE.
Esse fator vai fazer com que a nossa fração passe a ter um denominador sem raízes.
Voltando ao nosso exemplo de inicio, a fração foi racionalizada multiplicando (fator racionalizante), no numerador e denominador da nossa fração:
Belezinha, mas como que vamos saber que fator é esse que vamos usar ???
Relaxa, vamos ver três casos. Ai quando você se deparar com exercícios, basta ver em que caso entra.
Fator racionalizante
- 1° Caso : Denominador com uma raiz quadrada
- 2° Caso: Denominador com uma raiz, onde o índice é diferente de dois.
- 3° Caso: Denominador com soma ou subtração, onde pelo menos um dos elementos é uma raiz quadrada.
Por exemplo:
Vamos olhar somente para o denominador, temos uma raiz quadrada, logo entra nesse primeiro caso.
O fator racionalizante nesses casos, sempre vai ser a própria raiz. Assim, no nosso exemplo o fator será , agora bastam multiplicarmos o numerador e denominador da nossa fração original por ele:
Agora é só resolver:
Então não se esqueça de nesse caso o fator é a própria raiz quadrada que está no denominador.
Nesse caso, vamos ter uma fração onde o denominador é parecido com:
O fator racionalizante será:
Exemplo:
No denominador agora temos uma raiz cúbica, assim, entramos no segundo caso.
Vamos usar a formulazinha do fator integrante:
“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador.
“a” é o radicando da raiz que temos
“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado.
Nesse casso nosso denominador é:
Temos que n = 3, a =7 e m = 1.
Assim, nosso fator fica:
Agora é só multiplicar ele, no numerador e denominador da nossa fração original:
Vamos escrever essas raízes em forma de potenciação e resolver:
Prontinho.
Seguinte à ideia é, que o fator racionalizante vai ser a mesma soma (ou subtração) que temos no denominador, a única coisa que vai trocar é o sinal, ou seja:
Exemplo:
Opaaa há uma subtração no denominador, logo entramos no terceiro e ultimo caso.
Como temos , o fator racionalizante vai ser (só troca o sinal).
Agora é só multiplicar o fator no denominador e numerador da nossa fração
Então é isto, vamos sempre se lembrar de que quando chegarmos num exercício que é necessário racionalizar, primeiro você vai ver em qual caso ele entra. Feito isso, basta descobrir o fator racionalizante, depois é só multiplicar ele pelo denominador e numerador da fração original que tínhamos.
Agora vamos dar aquela praticada marotaaa nos exercícios.
Exercício Resolvido #1
Indique qual seria o fator racionalizante das seguintes frações:
Passo 1
Para resolver esse exercício, vamos ver em quais casos cada um se encaixa.
No denominador temos apenas uma raiz quadrada:
Então entramos no primeiro caso, onde o fator racionalizante é a própria raiz quadrada.
Assim, fator racionalizante:
Passo 2
Temos agora no denominador apenas uma raiz, mas seu índice é diferente de 2, assim estamos o segundo caso, e o fator integrante fica dessa forma:
O a é o radicando, nesse caso vale 3.
O n é o índice da raiz, nesse caso temos o índice 4.
E m é o expoente (ou número que está elevando) do radicando, nesse caso não está elevado a nenhum número explicito, ou seja, o valor do expoente é 1.
Assim, temos:
Ou,
Passo 3
Agora temos uma soma no denominador, e entramos no terceiro caso, onde é só trocarmos o sinal do meio.
Como temos uma subtração:
O fator racionalizante é uma soma:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Racionalize o denominador das frações :
Passo 1
- Para fazer a racionalização, precisamos primeiro identificar qual o fator integrante que vamos usar.
- Novamente, temos apenas uma raiz quadrada no denominador:
Nesse caso, temos apenas uma raiz no denominador e ela vai ser o nosso fator racionalizante :
Descoberto o fator racionalizante, é só mmultiplicar o denominador e numerador da nossa fração por ele:
Para simplificar, podemos escrever:
Assim, ficamos com :
Passo 3
Então, ela será nosso fator integrante:
Vamoss multiplicar nosso denominador e nnumerador pelo fator integrante que encontramos :
Resposta
Exercício Resolvido #3
Racionalize:
Passo 1
Vamos descobrir qual o nosso fator racionalizante, nesse caso temos uma raiz de índice diferente de 2 no denominador, assim temos que nosso fator integrante vai ser:
Onde,
a é o radicando que temos (a=7)
n é o índice da nossa raiz (n=3)
m é o número que está elevando nosso radicando (m=2)
Assim, o nosso fator racionalizante é:
Agora é só multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que descobrimos:
Passo 2
Novamente temos uma raiz com índice diferente de 2, por isso para descobrir o fator racionalizante vamos usar a mesma ideia.
Onde,
a é o radicando que temos (a=5)
n é o índice da nossa raiz (n=6)
m é o número que está elevando nosso radicando (m=4)
Assim, nosso fator racionalizante é:
Agora é só multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que encontramos:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Racionalize o denominador:
Passo 1
Vamos descobrir qual o fator racionalizante da nossa fração, podemos ver que o denominador possui uma soma, e por isso entra no terceiro caso.
Têm-se isso:
Nosso fator racionalizante apenas troca o sinal do meio, como é uma soma, vira uma subtração:
Passo 2
Agora que descobrimos basta apenas multiplicar o denominador da nossa fração por esse fator.
No denominador, podemos usar um produto notável que diz:
Se você não lembrar, é só fazer à distributiva.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Racionalize o denominador de:
Passo 1
Vamos descobrir o fator racionalizante, da nossa fração. Temos uma subtração no denominador, e entramos no terceiro caso.
Como, temos:
Vamos inverter o sinal do meio, e vamos ter como fator racionalizante:
Passo 2
Agora é só, multiplicar o numerador e denominador pelo fator que encontramos:
Agora, no denominador e numerador vamos usar produtos notáveis:
Assim, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Racionalize e deixe em uma única fração:
Passo 1
Vamos racionalizar cada uma separadamente.
A primeira fração:
Possui apenas uma raiz quadrada no denominador, e ela será nosso fator integrante:
Agora, vamos multiplicar o numerador e denominador por esse fator:
Passo 2
Agora vamos racionalizar a segunda fração:
Temos uma raiz de índice diferente do dois no denominador, assim o racionalizante será:
“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador (n=3)
“a” é o radicando da raiz que temos (a=7)
“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado (m=1)
Assim, nosso fator racionalizante será:
Agora vamos multiplicar nossa fração:
Passo 3
Agora vamos deixar em uma única fração:
Passo 4
Resposta
Exercício Resolvido #7
Resolva:
Passo 1
Para resolver, primeiro vamos racionalizar cada uma das frações e depois fazemos a subtração.
Primeira fração:
Temos uma soma no denominador, o fator integrante será:
Agora é só multiplicar o numerador e denominador da nossa fração pelo fator que encontramos:
Fazendo as distributivas e usando produtos notáveis no denominador, temos:
Passo 2
Agora, vamos para a segunda fração:
O Fator racionalizante será o mesmo, então vamos multiplicar o numerador e denominador:
Novamente, fazendo as distributivas e usando produtos notáveis no denominador, temos:
Passo 3
Agora vamos fazer a subtração:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Racionalize:
Passo 1
Para resolver, primeiro vamos relembrar que quando temos expoente negativo na potenciação, nós podemos inverter a fração:
Outra coisa vale lembrar que quando temos um expoente em forma de fração, nós também podemos escrever como uma raiz, onde o numerador vira o expoente do radicando e o denominador vira o índice da nossa raiz:
Passo 2
Agora, para racionalizar precisamos descobrir o fator racionalizante, e temos uma raiz de índice diferente de 2, assim:
“n” é o índice da raiz que temos no nosso denominador (n=4)
“a” é o radicando da raiz que temos (a=a)
“’m’’ é o valor que o radicando está sendo elevado (m=3)
Assim, nosso fator racionalizante é:
Vamos multiplicar o denominador e numerador da nossa fração pelo fator que encontramos: