Introdução à potenciação

Teoria Completa

Introdução

Faala galerinhaa, tudo bem com vocês?

A partir de agora vamos entrar no universo das potências hehe. Só pra vocês terem uma ideia, quando a potenciação foi criada, ela foi vista como uma forma mais econômica de se representar números muito grandes.

Por exemplo:

2 × 2 × 2 × 2 × 2

Essa multiplicação pode ser vista, como: 2 5

Por isso às vezes é muito mais prático usarmos essa forma exponencial ( 2 5 ) , do que termos o mesmo número se multiplicando diversas vezes.

Definição

Uma potência nada mais é que pegarmos um número “A” e multiplicar ele mesmo quantas vezes precisarmos (“N” vezes). Assim teremos:

Chamamos “A” de base e “N” de expoente.

E lemos:

A elevado à N (forma ordinal) potência”

A forma ordinal é: Primeira (1), quarta (4), Quinta (5),...

Só que, nas potencias quando elevamos a expoente 3 chamamos de cubo e quando elevamos ao expoente 2 chamamos de quadrado.

Exemplo:

7 2 = 7 × 7 = 49

Lemos 7 elevado ao quadrado

5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

Lemos 5 elevado ao cubo

2 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

Lemos 2 elevado à sétima potência

Cuidado!!!

A potênciação multiplica a base o número de vezes do expoente. Sobre nenhuma hipótese ela vai pegar a base e multiplicar pelo expoente. Ou seja :

Propriedades

  1. Qualquer número elevado a 1 é ele mesmo :
  2. a 1 = a

  3. Qualquer número, diferente de 0, elevado ao expoente 0 é 1 : a 0 = 1  
  4. a ≠ 0

  5. 1 elevado á qualquer expoente, é 1: 1 n =   1
  6. Quando temos expoente negativo, invertemos a fração (lembrando que todo número inteiro pode ser escrito como uma fração, colocando o número 1 embaixo): a - n = 1 a n
  7. Quando elevamos uma potencia á uma potencia, nós multiplicamos os expoentes:

a n m   = a n × m  

Ideias importantes

Aqui no final eu vou deixar umas dicas que pode te salvar mais pra frente, beleza? Se liga:

Prontinho, agora é só dar aquela treinada nos exercícios

Expandir

Exercício Resolvido #1

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 5ª Série. São Paulo, SP: Moderna, 2002. pp.49 (Adaptado)

Na operação

4 3 = 64

  1. Que número é a base?
  2. Que número é o expoente?
  3. Que número é a potência?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Relembrando, que quando temos uma potenciação, ela é representada dessa forma:

A N = B

O A é a chamamos de base, o N de expoente, e o resultado de potência.

Passo 2

  1. Comparando o caso geral, com o que temos no enunciado:
  2. A N = 4 3

    Vemos que nesse caso o número que está sendo elevado á um expoente é o 4, ele é a nossa Base A.

    Passo 3

  3. Vemos que o 3 é o nosso expoente, por que ele está elevando nossa base.
  4. Passo 4

  5. O resultado é a nossa potência, ou seja, o 64.

Resposta

  1. 4
  2. 3
  3. 64

Exercício Resolvido #2

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 5ª Série. São Paulo, SP: Moderna, 2002. pp.48 (Adaptado)

Escreva os seguintes produtos em forma de potência

  1. 3 × 3
  2. 10 × 10 × 10 × 10
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O número que está sendo multiplicado várias vezes é a nossa base, e a quantidade de vezes que ele está sendo multiplicado é o valor do expoente. Assim, vamos conseguir fazer essas multiplicações em forma de potências.

Passo 2

  1. 3 × 3

O número que está sendo multiplicado varias vezes é o 3, logo eles é a nossa base.

Ele foi multiplicado 2 vezes, assim esse vai ser nosso expoente.

A forma de potência será:

3 × 3 = 3 2

Passo 3

  1. 10 × 10 × 10 × 10

Vemos que nesse caso, o número que está sendo multiplicado várias vezes é o 10, assim ele é a nossa base.

A nossa base foi multiplicada 4 vezes, assim esse vai ser nosso expoente.

Logo, a forma de potencia para esse multiplicação é:

10 × 10 × 10 × 10 = 10 4

Resposta

  1. 3 2
  2. 10 4

Exercício Resolvido #3

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 5ª Série. São Paulo, SP: Moderna, 2002. pp.49

Qual o valor destas potências?

0 81 e 1 81

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. 0 81
  2. Vamos pensar o 0 é a nossa base e vamos multiplica-lo 81 vezes, ou seja:

    Porém independente de quantas vezes vamos multiplicar o 0, o resultado sempre vai ser 0.

    Assim,

    0 81 = 0

    Passo 2

  3. 1 81

Vamos pensar nas propriedades, tem uma que fala que se a base for 1, independente do expoente o resultado sempre vai ser 1.

Assim,

1 81 = 1

Resposta

  1. 0
  2. 1

Exercício Resolvido #4

Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática 9º Ano.  São Paulo, SP: Ática, 2009. pp.18

Efetue as potenciações:

  1. 3 4
  2. 18 1
  3. 23 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Nossa base é o 3, vamos multiplicar ele mesmo quatro (expoente) vezes, ou seja:
  2. Feito isso, agora é só resolver a multiplicação:

    3 4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 = 81

    Passo 2

  3. Tem uma propriedade que diz que qualquer número elevado a 1 é ele mesmo, ou seja:
  4. 18 1 = 18

    Passo 3

  5. Agora, nossa base é o 23, e ele mesmo vai ser multiplicado duas (expoente) vezes, assim temos:

Agora, fazendo a multiplicação temos:

23 2 = 23 × 23 = 529

Resposta

  1. 81
  2. 18
  3. 529

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Efetue as potenciações:

  1. - 5 2
  2. - 5 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Quando temos os parênteses, estamos elevando o -5 como um todo, assim temos como base o -5.
  2. Assim:

    - 5 2 = - 5 × - 5 = 25

    Passo 2

  3. Quando não temos o parênteses a nossa base é apenas o 5, ou seja, elevamos o 5 ao quadrado, e o resultado colocamos o sinal negativo. Com isso, temos :

Agora é só fazer a multiplicação:

- 5 2 = - 5 × 5 =   - 25

Resposta

  1. 25
  2. -25

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Resolva a potenciação:

1 8 - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para fazermos, vamos relembrar a propriedade, de que quando temos um expoente negativo, invertemos a fração e resolvemos com o expoente positivo.

Então primeiro, vamos inverter a fração (trocar numerador com denominador):

Lembrando que 8 1 = 8 , e vamos usar esse número inteiro.

Passo 2

Depois de invertido, o sinal do expoente passa a ser positivo, ou seja:

1 8 - 2 = 8 1 2 = 8 2

.Agora é só resolver:

8 2 = 8 × 8 = 64

Resposta

64

Exercício Resolvido #7

Elaboração Própria

Resolva as potenciações:

  1. 2 3 2
  2. 8 - 2 - 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Pela propriedade quando temos uma potência elevado a uma potência, nos fazemos à multiplicação dos expoentes e resolvemos, ou seja:
  2. 2 3 2 = 2 2 × 3 = 2 6

    Agora é só resolver:

    2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

    Passo 2

  3. Mesma ideia da letra a, uma potência elevado a uma potência, é só multiplicar os expoentes, ou seja:

8 - 2 - 2 = 8 ( - 2 ) × ( - 2 ) = 8 4

Agora é só resolver essa potenciação:

8 4 = 8 × 8 × 8 × 8 = 4096

Resposta

  1. 64
  2. 4096

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Resolva:

2 0 + 1 2 - 5 - 3 3 1 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para fazermos, vamos resolver cada potenciação individualmente e no final somamos e subtraímos

Primeira:

2 0

Uma das propriedades diz que qualquer número elevado à zero dá 1, assim temos:

2 0 = 1

Passo 2

Segunda:

1 2 - 5

Como temos um expoente negativo, uma das propriedades diz que temos que inverter a fração (trocar numerador com numerador), feito isso o expoente fica positivo, assim temos:

1 2 - 5 = 2 1 5 = 2 5

Agora é só resolver essa potenciação:

2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Assim,

1 2 - 5 = 32

Passo 3

Terceira potenciação:

3 3 1 3

Uma potência elevada à outra, usamos a propriedade que diz que podemos multiplicar os expoentes:

3 3 1 3 = 3 3 × 1 3 = 3 3 1 × 1 3

Para multiplicarmos frações basta fazer numerador com numerador e denominador com denominador

3 3 1 × 1 3 = 3 3 3 = 3 1

Outra propriedade diz que qualquer número elevado a 1 é ele mesmo, por isso:

3 1 = 3

Assim, temos

3 3 1 3 = 3

Passo 4

Agora vamos substituir o valor que encontramos na nossa expressão:

2 0 + 1 2 - 5 - 3 3 1 3   =   1 + 32 - 3 = 33 - 3 = 30

Resposta

30

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