Multiplicação e Divisão de Potências

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Teoria

E aí, você chegou no Responde Aí! Vamos lá aprender como fazer multiplicação e divisão de potências.

Você já conhece as potências! Por exemplo, se a gente tem a expressão , a gente sabe que o é a base e o é o expoente da potência.

Quando se trata de multiplicação e divisão de potências a forma mais direta é: primeiro resolver as potenciações, e depois resolver as multiplicações e divisões.

Exemplo: Calcule

Porém, existem algumas regrinhas que facilitam a multiplicação e a divisão de potências quando às duas potências tem base igual ou se o expoente é igual.

Resumo multiplicação e divisão de potências
Resumo multiplicação e divisão de potências

Pra entender melhor essas regras é só continuar lendo

Multiplicação de potências

Expoentes iguais

Quando temos duas potências com o mesmo expoente, a gente pode multiplicar as bases primeiro, e depois aplicar o expoente:

Exemplo: Calcule .

Bases iguais

A regra é simples: quando multiplicamos potências com a mesma base, a gente repete a base e soma os expoentes:

Exemplo: Calcule .

Divisão de potências

Expoentes iguais

Aqui a regra é a mesma que a usada para a multiplicação, a gente pode dividir primeiro as bases e depois calcular a potenciação do resultado.

Exemplo: Calcule

Bases iguais

Aqui a regra também é bem parecida com a multiplicação. Quando dividimos potências com a mesma base, a gente repete a base e subtraímos os expoentes:

Exemplo: Calcule

E é só isso! Pra saber mais, da uma olhada nesse vídeo:

Multiplicação de potências

Divisão de potências

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva:

3 6 × 5 1 9 3

Passo 1

Nesse caso, não temos bases e nem expoentes iguais. Por isso vamos resolver cada potenciação individualmente, depois substituímos os valores e fazemos as continhas.

Primeira:

3 6

Temos como base o número três, agora vamos multiplicar ele mesmo 6 vezes, que é o nosso expoente.

Assim:

3 6 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Passo 2

Vamos resolver a segunda potenciação: 5 1

Pelas propriedades, todo número elevado á 1 é ele mesmo, assim:

5 1 = 5

Passo 3

Terceira potenciação:

9 3

Nossa base agora é o 9, como o expoente é 3, vamos multiplicar ele mesmo três vezes.

9 3 = 9 × 9 × 9 = 729

Passo 4

Agora é só substituirmos o valor que encontramos para cada uma das potências:

3 6 × 5 1 9 3 = 729 × 5 729

Agora vamos resolver a conta normalmente, podemos considerar o 729 do denominador como sendo multiplicado por um, por que isso não afeta o valor da nossa conta:

729 × 5 729 = 729 × 5 729 × 1  

Agora, podemos transformar isso em duas frações se multiplicando, e resolver normalmente cada uma:

729 × 5 729 × 1 = 729 729 × 5 1 = 1 × 5 = 5

Resposta

5

Exercício Resolvido #2

Resolva as multiplicações:

  1. 5 3 × 2 3 × 1 3
  2. 7 7 × 7 - 10 × 7 3

Passo 1

  1. Nesse caso temos expoentes iguais, assim, a regrinha diz que podemos multiplicar todas as bases e elevar ao expoente comum:
  2. Vamos fazer essa multiplicaçãozinha, e depois fazemos a potenciação:

    5 × 2 × 1 3 = 10 3  

    Nossa base agora é o 10, por isso vamos multiplicar ele mesmo 3 vezes (expoente).

    10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

    Assim, temos:

    5 3 × 2 3 × 1 3 = 1000

    Passo 2

  3. Agora temos bases iguais, porém expoentes diferentes, assim a regra diz que vamos manter a base e somar os expoentes.

Vamos fazer as soma dos expoentes e resolver a potenciação:

7 7 + - 10 + 3 = 7 0 = 1

Lembrando que uma das propriedades da potenciação diz que qualquer número elevado à zero é 1.

Assim,

7 7 × 7 - 10 × 7 3 = 1

Resposta

  1. 1000
  2. 1

Exercício Resolvido #3

Resolva as divisões:

  1. 2 5 - 3
  2. 15 2 15 - 2

Passo 1

Belezinha! Para começar, como nós temos um expoente negativo, vamos inverter a fração e considerar o expoente como positivo:

2 5 - 3 = 5 2 3

Agora, vamos usar nossa regrinha, quando temos uma fração elevada a um expoente, podemos elevar o numerador e denominador separadamente pelo expoente na qual a fração inteira era elevada:

5 2 3 = 5 × 5 × 5 2 × 2 × 2

Sendo assim, vamos resolver as potenciações individualmente.

Começando pelo numerador, devemos lembrar que o 5 é a nossa base e ele vai ser multiplicado 3 vezes, assim:

5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

Para a segunda potenciação (denominador), basta apenas pegarmos a base 2 e multiplicar ela mesma 3 vezes, fazendo isso teremos:

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Assim, ficamos com:

5 3 2 3 = 125 8

Como a divisão não é exata, vamos deixar ela assim mesmo, só se pedir o resultado em decimal vamos fazê-la. Nesse caso não é necessário.

Passo 2

Agora, como temos bases iguais, vamos usar outra regrinha.

Se temos bases iguais, mantemos elas e subtraímos os expoentes, ou seja:

15 2 15 - 2 = 15 2 - - 2 = 15 2 + 2 = 15 4

Note que mantemos a base 15 e fizemos a subtração dos expoentes normalmente, agora é só resolver a potenciação:

15 4 = 15 × 15 × 15 × 15 = 50   625

Prontinho, ficamos então com:

15 2 15 - 2 =     50   625

Resposta

a)

125 8

b)

50   625

Exercício Resolvido #4

Calcule o valor da expressão numérica

3 - 1 × 3 - 1 3 4 × 3 - 7

Passo 1

Vamos primeiramente mexer com o numerador e depois com o denominador da nossa fração, feito isso vamos substituir os valores e resolver a divisão.

Passo 2

Numerador:

3 - 1 × 3 - 1

Nesse caso, temos tanto as bases como os expoentes iguais, logo podemos usar qualquer uma das regrinhas.

Vamos usar a das bases iguais, relembrando de que quando temos bases iguais, a mantemos e somamos expoentes, assim ficamos:

3 - 1 × 3 - 1 = 3 - 1 + - 1 = 3 - 2

Pronto, vamos deixar nosso numerador assim por enquanto.

Passo 3

Agora vamos mexer com o denominador:

3 4 × 3 - 7

Vamos usar novamente a regrinha das bases iguais, vamos manter a base 3, e somar os expoentes:

3 4 × 3 - 7 = 3 4 + - 7 = 3 - 3

Deixaremos o denominador assim por enquanto.

Passo 4

Reduzimos o numerador e o denominador á uma única potência, ou seja, ficamos com:

3 - 1 × 3 - 1 3 4 × 3 - 7 = 3 - 2 3 - 3

Dá uma olhadinha nessa fração, temos bases iguais, logo para resolver vamos manter a base 3 e DIMINUIR os expoentes (cuidado para não somar os expoentes, você soma apenas na multiplicação de bases iguais), assim temos:

3 - 2 3 - 3 = 3 - 2 - - 3 = 3 - 2 + 3 = 3 1

Todo número elevado á 1 é ele mesmo, assim temos: 3 1 = 3

Resposta

3

Exercício Resolvido #5

A medida do lado do quadrado abaixo é representada pela letra x.

Utilize a potenciação para expressar a área do quadrado

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, precisamos lembrar que a área de um quadrado é lado vezes lado.

Nesse caso, nosso lado vale x, por isso nossa área fica: x × x

Passo 2

Para resolver essa multiplicação, temos bases iguais, assim mantemos a base x e somamos os expoentes (lembrando que quando não temos nenhum expoente explícito consideramos 1).

x 1 × x 1 = x 1 + 1 = x 2

Ou seja, a área é representada por x 2 (x ao QUADRADO), interessante que foi por causa da forma geométrica que o expoente 2 ficou conhecido como quadrado.

Resposta

x 2

Exercício Resolvido #6

A medida da aresta do cubo abaixo é representada pela letra y

Represente o volume desse sólido pela potenciação.

Passo 1

Relembrando,

O volume do cubo é:

b a s e × a l t u r a × l a r g u r a

E todos esses valores estão sendo representados pelo valor y, assim temos:

v o l u m e = y × y × y

Passo 2

Para resolvermos essa multiplicação, note que temos bases iguais, assim vamos mantê-la e basta somar os expoentes (como não tem nenhum expoente explicito, usamos o 1).

y 1 × y 1 × y 1 = y 1 + 1 + 1 = y 3

Assim temos que o volume é dado por y 3 (elevado ao cubo). Mais uma vez é interessante saber que foi por causa da figura geométrica que o expoente 3, ficou conhecido como CUBO.

Resposta

y 3

Exercício Resolvido #7

Utilizando as propriedades das potências, calcule:

  1. a 20 a - 24  
  2. x n - 2 x n

Passo 1

Antes de resolver o exercício, vamos relembrar como fazemos multiplicação e divisão de potências com a mesma base!

No caso de uma multiplicação de potências com a mesma base, nós repetimos a base e somamos os expoentes, como no exemplo a abaixo:

x 4 ×   x 2 = x 4 + 2 = x 6

Já em uma divisão de potências com a mesma base, nós repetimos a base e subtraímos os expoentes, como no exemplo a abaixo:

x 4 x 2 = x 4 - 2 = x 2

Note que sempre mantemos a base x .

Passo 2

a)

Dá uma olhadinha, nesse caso temos a mesma base a tanto no numerador quanto no denominador. Assim, para resolvermos essa divisão, vamos manter a base e subtrair os expoentes:

a 20 a - 24 = a 20 - - 24 = a 20 + 24 = a 44

Note que mantemos a base a e subtraímos os expoentes normalmente.

Passo 3

b)

Seguindo a mesma ideia, continuamos tendo uma base igual, só que dessa vez ela é x . Sendo assim, agora é só mantermos a base e subtrairmos os expoentes, com isso teremos:

x n - 2 x n = x n - 2 - n = x - 2

Resposta

a)

a 44  

b)

x - 2

Exercício Resolvido #8

Mostre que:

2 n + 2 n + 1 = 3 × 2 n

Sendo n ∈ N

Passo 1

Geeente, esse exercício não é um monstro de 7 cabeças que parece. Você vai ver que se você pega a ideia inicial ele fica bem facinho. A gente precisa apenas dar uma mexida na função.

Se olharmos para essa expressão, podemos ver que temos 2 n dos dois lados.

Então o mais legal que poderíamos fazer agora é dividir os dois lados dessa igualdade por 2 n , assim ficaríamos só com números .

Dividindo os dois lados por 2 n , ficamos com:

2 n + 2 n + 1 2 n = 3 × 2 n 2 n

Agora, vamos mexer com cada lado de uma vez e depois igualamos.

Passo 2

Vamos focar na parte da direita e simplificar: 2 n + 2 n + 1 2 n

Podemos escrever como a soma de duas frações:

2 n + 2 n + 1 2 n = 2 n 2 n + 2 n + 1 2 n

Temos duas divisões com a base iguais, assim vamos manter a base de cada uma e diminuir os expoentes, assim ficamos:

2 n 2 n + 2 n + 1 2 n = 2 n - n + 2 n + 1 - n = 2 0 + 2 1

Sabendo que todo número elevado a 0 é 1, e todo número elevado a 1 é ele mesmo, temos:

2 0 + 2 1 = 1 + 2 = 3

Ou seja,

2 n + 2 n + 1 2 n = 3

Passo 3

Agora, vamos simplificar o segundo lado da equação:

3 × 2 n 2 n

Podemos fazer essa fação, como duas se multiplicando, assim temos:

3 1 × 2 n 2 n

Já descobrimos que 2 n 2 n = 2 0 = 1 , assim:

3 1 × 1 = 3

Ou seja,

3 × 2 n 2 n = 3

Passo 4

Agora é só substituirmos o valor que encontramos:

2 n + 2 n + 1 2 n = 3 × 2 n 2 n   → 3 = 3

Logo, mostramos que 2 n + 2 n + 1 = 3 × 2 n

É verdade

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)