Multiplicação e Divisão de Potências

Teoria Completa

Introdução

Oiee, vamos agora ver um pouco sobre multiplicação e divisão entre potências. Bom à primeira coisa que precisamos é de uma base igual ou de um expoente igual. Essas regrinhas que vão nos ajudar PRECISAM de um desses dois.

Caso você não tenha, você poderá usar as propriedades para te ajudar a resolver ou pode simplesmente resolver a potenciação individualmente.

Exemplo 1:

2 4 × 3 2

Não temos nem base, nem expoentes iguais, logo a única maneira é resolver cada potenciação e depois multiplicar.

Sabemos que:

2 4 = 16   e 3 2 = 9

Logo temos:

2 4 × 3 2 = 16 × 9 = 144

Exemplo 2:

16 2 4 1

Como, não temos bases nem expoentes iguais, resolvemos cada um de forma separada e depois dividimos.

Vamos começar com o Numerador: 16 2

Como, 16 é a base e vamos multiplicar ela mesma 2 vezes (expoente). Assim:

16 2 = 16 × 16 = 256

Agora o denominador:

4 1

Como o expoente é 1, logo uma das propriedades diz que todo número elevado á 1 é ele mesmo:

4 1 = 4

16 2 4 1 = 256 4 = 64

Prontinho agora você já teve umas ideias de como resolver, agora vamos para os casos de quando temos Bases iguais ou expoentes iguais.

Multiplicação

Vamos dividir em dois casos, quando temos expoentes iguais e quando temos bases iguais:

  1. Expoentes iguais:
  2. Quando temos o produto de dois números elevados á um expoente, podemos elevar cada um dos números separadamente e multiplica-los:

    a × b n = a n × b n

    Exemplo:

    2 4 × 1 4

    Ambos possuem o mesmo expoente 4, logo podemos juntar em apenas um produto elevado ao expoente 4:

    2 4 × 1 4 = 2 × 1 4 = 2 4 = 16

  3. Bases iguais:

Quando temos duas ou mais potências se multiplicando e elas possuem a mesma base. Você simplesmente somará os expoentes e manterá a base.

Ou seja:

a n × a m = a n + m

Por exemplo:

5 6 × 5 8 × 5 - 10

Como todos possuem a base 5, agora é só somar os expoentes :

5 6 × 5 8 × 5 - 10 = 5 6 + 8 + - 10 = 5 4 = 625

Prontinho, agora vamos ver a divisão.

Divisão de potências de mesma base

  1. Expoentes iguais:
  2. Quando temos uma fração como base, podemos elevar o numerador e o denominador separadamente:

    a b n =   a n b n

    Exemplo:

    36 5 9 5

    Ambos possuem o expoente 5, podemos considerar como uma fração só elevado a quinta potência :

    36 5 9 5 = 36 9 5 = 4 5 = 1024

  3. Bases iguais:

Quando temos uma divisão de potencias com a mesma base, nós vamos diminuir os expoentes (importante que o de cima seja sempre o primeiro na subtração), ou seja:

a n a m = a n - m

Por exemplo:

35 67 35 68

Fazendo a subtração:

35 67 35 68 = 35 67 - 68 = 35 - 1 = 1 35 ≈ 0,0286

É isto galeraa, agora bora arrebentar nos exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Resolva:

3 6 × 5 1 9 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse caso, não temos bases e nem expoentes iguais. Por isso vamos resolver cada potenciação individualmente, depois substituímos os valores e fazemos as continhas.

Primeira:

3 6

Temos como base o número três, agora vamos multiplicar ele mesmo 6 vezes, que é o nosso expoente.

Assim:

3 6 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Passo 2

Vamos resolver a segunda potenciação: 5 1

Pelas propriedades, todo número elevado á 1 é ele mesmo, assim:

5 1 = 5

Passo 3

Terceira potenciação:

9 3

Nossa base agora é o 9, como o expoente é 3, vamos multiplicar ele mesmo três vezes.

9 3 = 9 × 9 × 9 = 729

Passo 4

Agora é só substituirmos o valor que encontramos para cada uma das potências:

3 6 × 5 1 9 3 = 729 × 5 729

Agora vamos resolver a conta normalmente, podemos considerar o 729 do denominador como sendo multiplicado por um, por que isso não afeta o valor da nossa conta:

729 × 5 729 = 729 × 5 729 × 1  

Agora, podemos transformar isso em duas frações se multiplicando, e resolver normalmente cada uma:

729 × 5 729 × 1 = 729 729 × 5 1 = 1 × 5 = 5

Resposta

5

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Resolva as multiplicações:

  1. 5 3 × 2 3 × 1 3
  2. 7 7 × 7 - 10 × 7 3
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Nesse caso temos expoentes iguais, assim, a regrinha diz que podemos multiplicar todas as bases e elevar ao expoente comum:
  2. Vamos fazer essa multiplicaçãozinha, e depois fazemos a potenciação:

    5 × 2 × 1 3 = 10 3  

    Nossa base agora é o 10, por isso vamos multiplicar ele mesmo 3 vezes (expoente).

    10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

    Assim, temos:

    5 3 × 2 3 × 1 3 = 1000

    Passo 2

  3. Agora temos bases iguais, porém expoentes diferentes, assim a regra diz que vamos manter a base e somar os expoentes.

Vamos fazer as soma dos expoentes e resolver a potenciação:

7 7 + - 10 + 3 = 7 0 = 1

Lembrando que uma das propriedades da potenciação diz que qualquer número elevado à zero é 1.

Assim,

7 7 × 7 - 10 × 7 3 = 1

Resposta

  1. 1000
  2. 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria.

Resolva as divisões:

  1. 2 5 - 3
  2. 15 2 15 - 2
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Passo 1

Belezinha! Para começar, como nós temos um expoente negativo, vamos inverter a fração e considerar o expoente como positivo:

2 5 - 3 = 5 2 3

Agora, vamos usar nossa regrinha, quando temos uma fração elevada a um expoente, podemos elevar o numerador e denominador separadamente pelo expoente na qual a fração inteira era elevada:

5 2 3 = 5 × 5 × 5 2 × 2 × 2

Sendo assim, vamos resolver as potenciações individualmente.

Começando pelo numerador, devemos lembrar que o 5 é a nossa base e ele vai ser multiplicado 3 vezes, assim:

5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

Para a segunda potenciação (denominador), basta apenas pegarmos a base 2 e multiplicar ela mesma 3 vezes, fazendo isso teremos:

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Assim, ficamos com:

5 3 2 3 = 125 8

Como a divisão não é exata, vamos deixar ela assim mesmo, só se pedir o resultado em decimal vamos fazê-la. Nesse caso não é necessário.

Passo 2

Agora, como temos bases iguais, vamos usar outra regrinha.

Se temos bases iguais, mantemos elas e subtraímos os expoentes, ou seja:

15 2 15 - 2 = 15 2 - - 2 = 15 2 + 2 = 15 4

Note que mantemos a base 15 e fizemos a subtração dos expoentes normalmente, agora é só resolver a potenciação:

15 4 = 15 × 15 × 15 × 15 = 50   625

Prontinho, ficamos então com:

15 2 15 - 2 =     50   625

Resposta

a)

125 8

b)

50   625

Exercício Resolvido #4

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática -9°ano.  São Paulo, SP: Ática, 2009. pp.22 (Adaptado)

Calcule o valor da expressão numérica

3 - 1 × 3 - 1 3 4 × 3 - 7

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos primeiramente mexer com o numerador e depois com o denominador da nossa fração, feito isso vamos substituir os valores e resolver a divisão.

Passo 2

Numerador:

3 - 1 × 3 - 1

Nesse caso, temos tanto as bases como os expoentes iguais, logo podemos usar qualquer uma das regrinhas.

Vamos usar a das bases iguais, relembrando de que quando temos bases iguais, a mantemos e somamos expoentes, assim ficamos:

3 - 1 × 3 - 1 = 3 - 1 + - 1 = 3 - 2

Pronto, vamos deixar nosso numerador assim por enquanto.

Passo 3

Agora vamos mexer com o denominador:

3 4 × 3 - 7

Vamos usar novamente a regrinha das bases iguais, vamos manter a base 3, e somar os expoentes:

3 4 × 3 - 7 = 3 4 + - 7 = 3 - 3

Deixaremos o denominador assim por enquanto.

Passo 4

Reduzimos o numerador e o denominador á uma única potência, ou seja, ficamos com:

3 - 1 × 3 - 1 3 4 × 3 - 7 = 3 - 2 3 - 3

Dá uma olhadinha nessa fração, temos bases iguais, logo para resolver vamos manter a base 3 e DIMINUIR os expoentes (cuidado para não somar os expoentes, você soma apenas na multiplicação de bases iguais), assim temos:

3 - 2 3 - 3 = 3 - 2 - - 3 = 3 - 2 + 3 = 3 1

Todo número elevado á 1 é ele mesmo, assim temos: 3 1 = 3

Resposta

3

Exercício Resolvido #5

LONGEN, Adilson.  Matemática em movimento 8ª Serie.  Curitiba, PR: Nova Didática, 2004. pp.14 (Adaptado)

A medida do lado do quadrado abaixo é representada pela letra x.

Utilize a potenciação para expressar a área do quadrado

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, precisamos lembrar que a área de um quadrado é lado vezes lado.

Nesse caso, nosso lado vale x, por isso nossa área fica: x × x

Passo 2

Para resolver essa multiplicação, temos bases iguais, assim mantemos a base x e somamos os expoentes (lembrando que quando não temos nenhum expoente explícito consideramos 1).

x 1 × x 1 = x 1 + 1 = x 2

Ou seja, a área é representada por x 2 (x ao QUADRADO), interessante que foi por causa da forma geométrica que o expoente 2 ficou conhecido como quadrado.

Resposta

x 2

Exercício Resolvido #6

LONGEN, Adilson.  Matemática em movimento 8ª Serie.  Curitiba, PR: Nova Didática, 2004. pp.15 (Adaptado)

A medida da aresta do cubo abaixo é representada pela letra y

Represente o volume desse sólido pela potenciação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Relembrando,

O volume do cubo é:

b a s e × a l t u r a × l a r g u r a

E todos esses valores estão sendo representados pelo valor y, assim temos:

v o l u m e = y × y × y

Passo 2

Para resolvermos essa multiplicação, note que temos bases iguais, assim vamos mantê-la e basta somar os expoentes (como não tem nenhum expoente explicito, usamos o 1).

y 1 × y 1 × y 1 = y 1 + 1 + 1 = y 3

Assim temos que o volume é dado por y 3 (elevado ao cubo). Mais uma vez é interessante saber que foi por causa da figura geométrica que o expoente 3, ficou conhecido como CUBO.

Resposta

y 3

Exercício Resolvido #7

SILVEIRA, Ênio; MARQUES, Cláudio. Matemática. São Paulo, SP: Moderna, 1995. pp.8 ( Adaptado)

Utilizando as propriedades das potências, calcule:

  1. a 20 a - 24  
  2. x n - 2 x n
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Dá uma olhadinha, nesse caso temos a mesma base a tanto no numerador quanto no denominador. Assim, para resolvermos essa divisão, vamos manter a base e subtrair os expoentes:

a 20 a - 24 = a 20 - - 24 = a 20 + 24 = a 44

Note que mantemos a base a e subtraímos os expoentes normalmente.

Passo 2

b)

Seguindo a mesma ideia, continuamos tendo uma base igual, só que dessa vez ela é x . Sendo assim, agora é só mantermos a base e subtrairmos os expoentes, com isso teremos:

x n - 2 x n = x n - 2 - n = x - 2

Resposta

a)

a 44  

b)

x - 2

Exercício Resolvido #8

SILVEIRA, Ênio; MARQUES, Cláudio. Matemática. São Paulo, SP: Moderna, 1995. pp.8

Mostre que:

2 n + 2 n + 1 = 3 × 2 n

Sendo n ∈ N

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Geeente, esse exercício não é um monstro de 7 cabeças que parece. Você vai ver que se você pega a ideia inicial ele fica bem facinho.

Se olharmos para essa expressão, podemos ver que temos 2 n dos dois lados.

Então o mais legal que poderíamos fazer agora é dividir os dois lados dessa igualdade por 2 n , assim ficaríamos só com números .

Dividindo os dois lados por 2 n , ficamos com:

2 n + 2 n + 1 2 n = 3 × 2 n 2 n

Agora, vamos mexer com cada lado de uma vez e depois igualamos.

Passo 2

Vamos simplificar: 2 n + 2 n + 1 2 n

Podemos escrever como a soma de duas frações:

2 n + 2 n + 1 2 n = 2 n 2 n + 2 n + 1 2 n

Temos duas divisões com a base iguais, assim vamos manter a base de cada uma e diminuir os expoentes, assim ficamos:

2 n 2 n + 2 n + 1 2 n = 2 n - n + 2 n + 1 - n = 2 0 + 2 1

Sabendo que todo número elevado a 0 é 1, e todo número elevado a 1 é ele mesmo, temos:

2 0 + 2 1 = 1 + 2 = 3

Ou seja,

2 n + 2 n + 1 2 n = 3

Passo 3

Agora, vamos simplificar o segundo lado da equação:

3 × 2 n 2 n

Podemos fazer essa fação, como duas se multiplicando, assim temos:

3 1 × 2 n 2 n

Já descobrimos que 2 n 2 n = 2 0 = 1 , assim:

3 1 × 1 = 3

Ou seja,

3 × 2 n 2 n = 3

Passo 4

Agora é só substituirmos o valor que encontramos:

2 n + 2 n + 1 2 n = 3 × 2 n 2 n   → 3 = 3

Logo, mostramos que 2 n + 2 n + 1 = 3 × 2 n

É verdade

Resposta

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