Multiplicação e divisão de frações

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre multiplicação e divisão de frações. Falar de frações é sempre um pouquinho assustador, né? Mas eu te garanto que com tempo e prática, você vai dominar tudo o que vamos ver aqui.

Dado o tanto que é comum trabalharmos com frações em assuntos mais avançados de matemática, é extremamente importante dominar estas técnicas aqui, pra já chegar lá na frente dando voadora em qualquer continha que parecer mais complicada envolvendo frações, beleza?

Se você preferir, pode ver esse esse conteúdo na forma desse vídeo maravilhoso 👇

Não deixa de conferir também:

Multiplicação de Frações

Entre todas as operações de frações, essa aqui é a mais fácil, pois resolvemos do jeito mais direto possível. Olha só, para resolvermos a seguinte multiplicação de frações

basta multiplicarmos o numerador da primeira fração com o numerador da segunda fração e o denominador da primeira com o denominador da segunda. Ou seja, “o de cima vezes o de cima e o de baixo vezes o de baixo”. Então:

E se tivermos mais de duas frações? Sem segredo, continuamos multiplicando o que tá em cima com o que tá em cima e o que tá embaixo com o que tá embaixo.

Tá, mas e quando temos uma fração multiplicando um número inteiro? Tipo assim:

Continuamos multiplicando o que tá em cima com o que tá em cima e o que tá embaixo com o que tá embaixo. Mas ué, não tem nada embaixo do 5?!

Sticker gatinho confuso
Sticker gatinho confuso

É só você lembrar que um número dividido por 1 dá sempre o próprio número! Então podemos reescrever aquela continha da seguinte forma:

Aí é só resolvermos como já aprendemos.

Simplificações

Em alguns casos, vamos nos deparar com algo do tipo:

E aí temos algumas opções. Podemos resolver exatamente da mesma forma que o anterior:

Mas não é muito legal deixar isso aí no nosso resultado final, porque 30 dividido por 3 dá um número inteiro! Então, é sempre bom simplificarmos a fração e colocar o resultado, quando ele for um inteiro.

(No exemplo anterior, deixamos na forma 10/3 pois 10 dividido por 3 dá 3,333... aí é preferível deixar na forma de fração mesmo, vai depender do que o seu professor pedir, beleza?)
Agora, algumas vezes pode ser mais difícil lembrar se um número é múltiplo ou divisor de outro. Por exemplo, na conta

pode não ser claro logo de cara que a fração 84/3 dá um número inteiro. Mas olha só que interessante, se eu reescrever a conta original da seguinte forma:

Fica mais fácil de perceber que aquele 12 pode ser dividido pelo 3 do denominador. Aí a conta fica até mais fácil e o resultado é exatamente o mesmo.

Divisão de Frações

Agora vamos ver sobre divisão de frações. Fica ligado, porque aqui as coisas podem sair do controle bem rápido.
Uma divisão de frações é algo do tipo:

A ideia agora é transformar essa operação em uma multiplicação. Para isso, vamos sempre lembrar da regrinha: multiplica a primeira fração pelo inverso da segunda. Com isso, essa continha aí de cima vai ficar assim:

Aí já podemos simplificar aquele 9 do numerador com o 3 do denominador, pra facilitar nossa vida.

Tranquilo, né? E se tivermos mais de duas frações dividindo?

Não tem muito segredo não, vamos só preservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso de todas as outras.

E ainda podemos simplificar esse resultado final dividindo numerador e denominador por 3:

Bom, isso é o que temos pra hoje. Bora praticar pra deixar tudo isso bem enraizado na cabeça 😉

Multiplicação de Frações

Divisão de Frações

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva:

5   × 7 10

Passo 1

Para começar, vamos lembrar que todo número inteiro pode ser escrito na forma de fração por apenas colocar o 1 em seu denominador e o 5 é um número inteiro, assim teremos:

5 1 × 7 10

Passo 2

Para fazer essa multiplicação basta apenas fazer multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador

5 1 × 7 10 = 5 × 7 1 × 10 = 35 10

Passo 3

Porémm, ainda não acabooou, falta encontrarmos a fração irredutível.

O 35 e 10 são múltiplos de 5, logo vamos simplificar por 5, dividindo o numerador e denominador.

35 10 = 35 ÷ 5 10 ÷ 5 = 7 2

Logo:

5   × 7 10 = 7 2

Resposta

7 2

Exercício Resolvido #2

Resolva:

15 4 ÷ 3

Passo 1

O 3 é um número inteiro, por isso vamos transforma-lo em fração, colocando o 1 no denominador, assim teremos:

15 4 ÷ 3 1

Passo 2

Para resolver essa divisão, vamos inverter a segunda fração, ou seja, trocar de lugar o numerador e denominador. Depois de fazer isso, nossa divisão vai virar uma multiplicação.

Agora é só fazer essa multiplicação, lembrando-se de denominador com denominador e numerador com numerador.

15 4 × 1 3 = 15 × 1 4 × 3 = 15 12

Passo 3

Agora só falta fazer a simplificação, 15 e 12 são múltiplos de 3, lodo vamos simplificar por 3.

15 12 = 15 ÷ 3 12 ÷ 3 = 5 4

Resposta

5 4

Exercício Resolvido #3

Calcule :

3 8 × 7 9 ÷ 2

Passo 1

Vamos dividir em duas partes, primeiro vamos fazer a multiplicação que está dentro dos parênteses e depois fazemos a divisão. Lembre-se que sempre os parênteses vai ser prioridade nas ao fazer esse tipo de conta.

Logo temos:

3 8 × 7 9

Para fazer essa multiplicação, é só multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador.

3 8 × 7 9 = 3 × 7 8 × 9 = 21 72

Passo 2

Agora vamos fazer a divisão, o 2 é um número inteiro, por isso vamos considerar como tendo 1 em seu denominador. Então ficamos:

21 72 ÷ 2 1

Pra resolver, vamos inverter a segunda fração trocando seu denominador com numerador. E depois de fazer isso nossa divisão vai se tornar multiplicação

Pronto, agora é só fazer essa multiplicaçãozinha, com numerador vezes numerador e denominador vezes denominador.

21 72 × 1 2 = 21 × 1 72 × 2 = 21 144

Passo 3

Para finalizar, basta apenas simplificarmos essa fração, 144 e 21 são múltiplos de 3, logo vamos simplificar por 3.

21 144 = 21 ÷ 3 144 ÷ 3 = 7 48

Prontinho logo 7 48 é o resultado

Resposta

7 48

Exercício Resolvido #4

Em uma caixa cabem 2 5 de quilogramas de bala. Até quantos quilogramas de balas podem ser colocados e em 10 caixas iguais a essa?

Passo 1

Sabemos que uma caixa cabe 2 5 de quilogramas de bala. Em dez juntas vai caber:

2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5

Ou para facilitar podemos fazer: 2 5 × 10

Passo 2

Para fazer essa multiplicação:

Colocando o denominador 1, no número inteiro 10, temos:

2 5 × 10 1

Multiplicando numerador com numerador e denominador com denominador, ficamos com:

2 5 × 10 1 = 2 × 10 5 × 1 = 20 5 = 4

Logo em dez caixas cabem 4 kg de balas.

Resposta

4 Kg

Exercício Resolvido #5

Qual é o número que multiplicado por 4 7 dá 1? Como se chama esse número em relação ao número 4 7 ·?

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos precisar nos lembrar de que a operação inversa da multiplicação é a divisão.

Ou seja, se nós queremos saber que número multiplicado por 4 7 da 1, podemos fazer;

1 ÷ 4 7

Passo 2

Para resolver vamos considerar o numero inteiro 1, tendo denominador 1.

Assim temos:

1 1 ÷ 4 7

Vamos inverter a segunda fração, e onde era divisão vai se tornar multiplicação:

Agora é só resolver essa multiplicação:

1 1 × 7 4 =   7 × 1 1 × 4 = 7 4

Assim, se você multiplicar 7 4 por 4 7 o resultado vai ser 1.

Passo 3

Como podemos ver o 7 4 é o inverso da fração 4 7 ·, podemos ver isso pelo fato de o numerador e denominador estarem trocados.

Resposta

7 4 e é chamado inversa

Exercício Resolvido #6

Em um mapa, cada 1 cm equivale a 21 4 quilômetros. Nesse mapa a, a distancia entre Serra Azul e Paraíso é de 12 cm. Qual a distância real, em quilômetros, entre essas duas cidades?

Passo 1

Sabemos que 1 cm é 21 4 km, e a distância entre essas suas cidades é de 12 centímetros. Logo basta pegar essa distancia e multiplicar pelo valor de cada centímetro:

12 × 21 4

Passo 2

Para fazemos essa multiplicação, vamos considerar o 12 como uma fração com denominador 1.

Com isso temos:

12 1 × 21 4

Fazendo a multiplicação de numerador com numerador e denominador com denominador, temos:

12 1 × 21 4 = 12 × 21 1 × 4 = 252 4 = 63

Assim a distância entre as cidades em km é 63.

Resposta

63

Exercício Resolvido #7

Mara separou 3 4 de uma quantia e comprou 2 cadernos iguais. O preço de cada caderno corresponde a que fração da quantia total?

Passo 1

Mara comprou dos cadernos iguais, ou seja, de mesmo preço. Para descobrir o quanto ela gastou em cada caderno, vamos pegar a quantidade que ela separou da quantia e dividir por 2:

3 4 ÷ 2

Passo 2

Para resolver, vamos lembrar que 2 é um número inteiro e ele pode ser escrito em forma de fração colocando o um no denominador:

2 = 2 1

Agora, para fazer essa divisão, vamos inverter a segunda fração (trocar de lugar o numerador e denominador). Com isso feito, nossa divisão vai virar uma multiplicação:

3 4 ÷ 2 1 = 3 4 × 1 2

Passo 3

Para multiplicar, vamos fazer a multiplicação do numerador com numerador e denominador com denominador:

3 4 × 1 2 = 3 × 1 4 × 2 = 3 8

Assim, cada caderno custou 3 8 da quantia que Mara havia separado. Beleza?!

Resposta

3 8

Exercício Resolvido #8

Renata dividiu uma figura em 5 partes iguais e pintou 2 3 de uma das partes. Que fração da figura ela pintou?

Passo 1

Renata dividiu uma figura em 5 partes iguais, ou seja, cada uma dessas partes equivale a 1 5 da figura total.

Ela pintou 2 3 de apenas UMA parte, assim ela pintou 2 3 de 1 5 .

E quando temos “uma fração da outra”, nós fazemos uma multiplicação entre as frações, ou seja, ela pintou: 2 3 × 1 5

Passo 2

Para resolver essa multiplicação, vamos fazer numerador com numerador e denominador com denominador.

2 3 × 1 5 = 2 × 1 3 × 5 = 2 15

Assim, Renata pintou só 2 15 do desenho inteiro.

Resposta

2 15