Introdução à Radiciação

Teoria Completa

Introdução

Oiee galerx, tudo certo? Já vimos que 5 2 = 25 , mas agora pensa comigo, e se já temos o valor 25 e queremos saber que número foi elevado ao quadrado para chegarmos nele?

Pra descobrimos isso, vamos usar um negocinho chamado raiz quadrada.

Já sabemos que nesse caso basta elevar 5 ao quadrado para chegarmos ao valor de 25, ou seja :

25 2 = 5  

Esse símbolo no número 25 é como expressamos uma raiz e lemos assim: A raiz quadrada de 25 é 5.

Gente, a raiz nada mais é a operação inversa da potência. Assim como a soma e subtração, multiplicação e divisão...

Uma raiz é composta dos seguintes elementos:

a n = b

O n é o índice da nossa raiz, a é o radicando e o b é a raiz.

Raízes

TODA vez que você se deparar com uma raiz, você vai se perguntar: “Que número foi elevado ao índice, para que eu tenha o valor do radicando?”.

Por exemplo:

81 4

Vamos pensar, em que número que foi elevado a quatro (índice), e chegamos ao valor 81 (radicando)?

Vamos testar alguns, começando por 2:

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

16 é um pouco longe do 81 que queremos, vamos testar o número 4 :

4 4 = 4 × 4 × 4 × 4 = 256

Quando testamos o 2 o resultado é 16, que é menor que 81. E com 4, temos por resultado 256, que é maior que 81. Assim, vamos escolher um número entre 2 e 4, ou seja, o 3:

3 4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

EEEE achamos o número que estávamos procurando, assim temos que:

81 4 = 3

Aah, mais uma coisinha quando não temos nenhum índice na nossa raiz, consideramos como uma raiz quadrada (índice 2).

Por exemplo:

144 = 144 2

Para resolver vamos pensar “que número elevado ao quadrado (índice) dá 144 (radicando)”

O número 10 2 = 10 × 10 = 100 , assim sabemos que o valor que estamos procurando é maior que 10, vamos testar o 12.

12 2 = 12 × 12 = 144

Pronto, achamos o que estamos procurando. Logo, temos:

144 = 12

Propriedades

  1. Independente do índice, a raiz de 0 é 0:
  2. 0 n = 0

  3. Independente do índice, a raiz de 1 é 1:
  4. 1 n = 1

  5. A raiz de índice n, de um número elevado a n é ele mesmo:
  6. a n n = a

  7. Toda raiz pode ser escrita em forma de potência, basta elevar o radicando pelo seu próprio expoente dividido pelo índice:
  8. a m n = a m n

  9. Quando temos uma raiz dentro da outra podemos colocar o radicando em uma raiz só e multiplicar os índices
  10. a q p = a p × q

  11. Quando temos um expoente elevando uma raiz, esse expoente “entra” para dentro do radicando: a n m = a m n

Observações

Agora se prepara que vou te dar umas dicas pra que na hora de lidar com as raízes, você mande suuuper bem:

  • Se a raiz que estamos calculando tem índice par (2,4,6 ...), e o radicando é negativo. Essa raiz NÃO VAI EXISTIR.
  • Ex:

    - 4

    Podemos afirmar que essa raiz NÃO EXISTE, ou seja, não há nenhum número que vamos elevar ao quadrado que vai dar - 4 .

  • Se tivermos um índice par, quando aplicamos a propriedade C, sempre a resposta será em módulo (que é o valor positivo).

Ex:

- 5 4 4

Como o radicando está elevado a 4 e o índice é 4 , vamos cortar a raiz fora:

- 5 4 4 = - 5

Como 4 é par, agora vamos aplicar o módulo:

- 5 4 4 = - 5 = 5

Prontinhooo, agora é só treinaaar nos exercícios HEHE.

Expandir

Exercício Resolvido #1

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 5ª Série. São Paulo, SP: Moderna, 2002. pp.52

Na operação 125 3 = 5 , pede-se:

  1. O radicando;
  2. A raiz;
  3. O índice;
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Passo 1

Vamos relembrar,

a n = b

Onde, a é o radicando, o n é o índice e o b é a raiz.

Vamos comparar o exercício para descobrir.

Passo 2

  1. O radicando é o valor que temos dentro do símbolo da raiz, ou seja, nesse caso é o 125.
  2. Passo 3

  3. A raiz é o valor do resultado, nesse caso é o 5.
  4. Passo4

  5. E o índice é o número pequenininho, que é o 3.

Resposta

  1. 125
  2. 5
  3. 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um número elevado ao cubo é igual a 1000, determine:

  1. Que número é esse?
  2. Calcule 1000 3
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Passo 1

  1. Vamos pensar em alguns números, e vamos elevar ao cubo, até encontrarmos o resultado 1000.
  2. Começaremos testando o 7:

    7 3 = 7 × 7 × 7 = 343

    O valor está um pouquinho longe do que estamos procurando, por isso vamos testar um número maior. Testando o 11 agora:

    11 3 = 11 × 11 × 11 = 1331

    Agora temos que o número é menor que 11, visto que o resultado passou dos 1000 que queremos. Vamos testar o 10:

    10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

    Eeee, achamos logo o número que elevamos ao cubo que o resultado é igual a 1000, é o 10.

    Passo 2

  3. Belezinha agora vamos calcular:

1000 3

Para resolver, temos que nos perguntar, que número eu elevo ao expoente (3) para chegar ao radicando.

Ou seja, que número foi elevado ao cubo para que o resultado seja 1000?

Descobrimos já que se elevarmos 10 ao cubo chegamos a esse valor. Isso mostra como a potenciação e a radiciação são operações inversas.

Resposta

  1. 10
  2. 10

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Resolva:

  1. 128 7
  2. 144
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Passo 1

  1. Para resolver uma raiz, vamos nos perguntar que número foi elevado ao índice para que eu tenha o valor do radicando?
  2. 128 7

    Nesse caso, que número foi elevado à sétima potência para que tenhamos 128?

    A idéia é você testar alguns números e ir se aproximando do valor que quer.

    Vamos começar pensando no número 3:

    3 7 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 × 9 × 3 = 2187

    Note que o 3 ao elevar á sétima potência, temos que o valor passou muito do radicando que temos. Assim, vamos testar um número menor, como o 2:

    2 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 4 × 4 × 4 × 2 = 128

    Pronto, achamos o número que elevado á 7 dá 128. Logo esse número (2) é o nosso resultado

    128 7 = 2

    Passo 2

  3. Novamente, vamos nos perguntar que número eu elevo ao índice para obter o valor do radicando?

144

O nosso índice agora é o 2. Assim vamos pensar em que número elevado ao quadrado dá 144, vamos testar o 9: 9 2 = 9 × 9 = 81

Esse valor ainda esta pequeno, por isso vamos pegar números maiores que 9.

Testando o número 11, temos: 11 2 = 11 × 11 = 121

Ainda estamos a baixo do valor 144 que queremos, vamos testar o 12: 12 2 = 12 × 12 = 144

Prontinho, agora sabemos que o número que elevamos ao quadrado para chegar em 144, é o 12.

144

Resposta

  1. 2
  2. 12

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Escreva em forma de potência:

  1. a 3
  2. a 3 6
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Passo 1

O que vai nos ajudar a resolver esse exercício é a propriedade que diz que todo raiz pode ser escrita em forma de potência.

O radicando vai se tornar nossa base da potência e ele vai ser elevado a uma fração, onde;

  • O numerador vai ser o valor que o radicando está sendo elevado dentro da raiz.
  • E o denominador vai ser o índice que temos para nossa raiz.

Passo 2

  1. a 3
  2. O índice da nossa raiz é o 3

    Temos que o radicando é o a, e ele está sendo elevado á 1 (quando não temos nenhum expoente explicito, consideremos 1).

    Passo 3

  3. a 3 6

Vamos usar a mesma ideia

Temos que o índice é o 6, e o expoente do radicando é 3

Dá uma olhada no expoente da nossa nova potência, nós podemos simplificar por 3:

a 3 ÷ 3 6 ÷ 3 = a 1 2

Resposta

  1. a 1 3
  2. a 1 2

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Resolva:

256 4 2 4  

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Passo 1

A ideia chave pra esse exercício é usar as propriedades ao nosso favor.

Antes de olharmos para a potência, podemos usar a propriedade que nos diz que quando temos uma raiz dentro da outra, podemos multiplicar os seus índices e fazer uma raiz só:

Assim, temos:

256 4 2 4 = 256 8 4

Passo 2

Agora, temos um expoente elevando a raiz toda, uma das propriedades diz que podemos passar esse expoente “’Para dentro” e ele vai elevar só o radicando:

256 8 4 = 256 4 8

Feito isso, podemos passar essa raiz para a forma de potência (índice vira denominador e expoente do radicando numerador), para simplificar:

256 4 8 = 256 4 8

Podemos simplificar a fração por 4:

256 4 8 = 256 4 ÷ 4 8 ÷ 4 = 256 1 2

Voltando para a forma de raiz (numerador vira expoente do radicando e o denominador vira o índice):

256 1 2 =   256 2

Passo 3

Para resolver essa raiz, basta pensarmos em que número ao quadrado dá 256. Dessa forma, vamos pensar no 14: 14 2 = 14 × 14 = 196

Ainda é um número menor do que 256, vamos tentar o 16:

16 2 = 16 × 16 = 256

Achamos que a raiz quadrada de 256 é 16, porque quando elevamos 16 ao quadrado temos 256.

Assim:

256 4 2 4 = 16  

Resposta

Portanto, temos que o resultado é:

16

Exercício Resolvido #6

LONGEN, Adilson.  Matemática em movimento 8ª Serie.  Curitiba, PR: Nova Didática, 2004. pp.39 (Adaptado)

O cubo representado a baixo tem volume de 64   c m 3

Determine, em cm, a medida x da aresta do cubo:

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Passo 1

Vale relembrar que para calcular o volume de um cubo, temos que multiplicar: v o l u m e = b a s e × a l t u r a × l a r g u r a

E nesse caso ambos valem x.

V o l u m e = x × x × x = x 3

O enunciado diz que o volume do cubo é 64   m 3

Ou seja,

x 3 = 64

Dá uma boa olhadinha pra essa expressão, observe que essa é exatamente a idéia da pergunta que fazemos para resolver uma raiz: “Que número eu elevo ao cubo (índice), para obter 64 (radicando)”

Assim, no final das contas para resolver esse problema vamos resolver uma raiz cúbica:

x = ∛ 64

Passo 2

Agora, pra resolver vamos testar números:

Testando o 3: 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27

Precisamos testar um número maior que 3, testaremos o 4:

4 3 = 4 × 4 × 4 = 64

Ou seja, descobrimos que

64 3 = 4

Assim cada aresta do cubo vale 4   c m .

Resposta

4

Exercício Resolvido #7

SILVEIRA, Ênio; MARQUES, Cláudio. Matemática. São Paulo, SP: Moderna, 1995. pp.15

Determine o valor de x

21 + 13 + 7 + 4

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Passo 1

Para resolver esse tipo de exercícios a ideia é sempre resolver a raiz de dentro para fora. Ou seja, você vai resolver primeiro a raiz que estiver mais interna, depois é só indo para a mais externa

Assim, a raiz mais “para dentro” que temos é

4

Para resolver, vamos pensar que número que foi elevado ao quadrado, para termos 4.

Sabemos que se elevarmos 2 ao quadrado temos 4.

2 2 = 2 × 2 = 4

Agora, vamos substituir o valor que encontramos na nossa raizona :

21 + 13 + 7 + 4 = 21 + 13 + 7 + 2 = 21 + 13 + 9

Passo 2

Agora a raiz que vamos resolver é :

9

Vamos pensar em que número elevado ao quadrado, dá 9.

Podemos pensar no número 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Ou seja:

9 = 3

Vamos substituir o valor da raiz no na nossa raizona:

21 + 13 + 9 = 21 + 13 + 3 = 21 + 16

Passo 3

Agora, vamos resolver :

16

Novamente, vamos pensar em que número ao quadrado dá 16.

Vamos testar o 4:

4 2   = 4 × 4 = 16

Assim,a raiz fica :

21 + 16 = 21 + 4 = 25

Passo 4

Para fechar, basta resolver essa última raiz :

25

Se pensarmos, 5 ao quadrado é 25, assim nossa resultado é :

25 = 5

Ou seja, aquela raizona enorme tem por resultado 5.

Resposta

5

Exercício Resolvido #8

SILVEIRA, Ênio; MARQUES, Cláudio. Matemática. São Paulo, SP: Moderna, 1995. pp.13

A queda de um corpo de uma altura h   é regida pelas equações h = 1 2 g ∙ t 2 e v = g t . Expressando t em função da velocidade ( v ) e da aceleração da gravidade ( g ) , temos:

h = 1 2 g ∙ v 2 g 2     ⟺ v 2 = 2 h g ⇔ v = 2 h g

Obtemos, assim, uma expressão radical correspondente à velocidade com que um corpo chega ao solo. Supondo g = 10   m / s 2 , com que velocidade chega ao solo um corpo que cai de uma altura de 20 m ?

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Passo 1

Primeira coisa que vamos fazer é analisar os dados que temos:

g   =   10   m / s 2  

h   =   20   m

E a fórmula que vamos usar para obter velocidade é :

v = 2 g h  

Assim, vamos substituir o valor que o enunciado nos deu :

v = 2 g h   = 2 × 10 × 20 =   20 × 20 = 2 0 2  

Prontinho, agora vamos resolver a raiz que restou .

Passo 2

Para resolver essa raiz vamos usar propriedade, que diz que se elevamos o radicando ao mesmo valor do índice, podemos “cortar” fora, ou seja :

2 0 2  

Nesse caso, temos que o radicando 20, foi elevado ao quadrado e o índice da nossa raiz, também é 2. Assim, temos :

2 0 2   = | 20 | = 20  

Não se esqueça de usar o módulo para poder usar essa propriedade quando temos índices pares.

Assim, descobrimos que a velocidade que um corpo chega ao solo é de 20   m / s  

Resposta

20   m / s  

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