Operações com raízes

Teoria Completa

Soma e Subtração

Fala ae, tudo bem? Vamos a partir de agora aprender como fazer as quatro operações (soma subtração, multiplicação e divisão).

Seguinte, tanto pra soma quanto pra subtração, não temos nenhuma regra especial, você resolve as raízes e faz a conta:

Exemplo:

125 3 + 81 - 1 5

Vamos resolver cada uma das raízes:

Primeira raiz:

125 3

Pensando em que número elevado ao cubo (índice), dá 125 (radicando).

Se tentarmos 4 3 = 4 × 4 × 4 = 64 vemos que o valor é menor que 125, assim vamos testar o 5

5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

Logo 125 3 = 5

Segunda raiz:

81

Vamos pensar em que número elevado ao quadrado dá 81.

Sabemos que 10 2 = 10 × 10 = 100 , logo o número que estamos procurando é menor que 10, vamos testar 9

9 2 = 9 × 9 = 81

Assim, temos:

81 = 9

Terceira raiz:

1 5

Independente do índice, a raiz de 1, sempre vai ser 1:

1 5 = 1

Agora é só resolver à expressãozinha:

125 3 + 81 - 1 5 = 5 + 9 - 1 = 13

Multiplicação

Para fazer a multiplicação com a regrinha que vou dar, é necessário que as raízes tenham o mesmo índice. Se não tiver, você resolve as raízes separadamente e faz a multiplicação.

Quando temos o mesmo índice, por exemplo:

4 3 × 2 3 × 8 3

Podemos juntar todos como uma raizona, e multiplicamos dentro dela

4 × 2 × 8 3 = 64 3

Agora é só resolver, vamos pensar em que número elevado ao cubo dá 64, vamos testar o 4

4 × 4 × 4 = 64

Assim, temos:

4 3 × 2 3 × 8 3 = 64 3 = 4

Essa ideia, lembrando que só vale para índices iguais. Você também pode usar quando tem uma raiz com um número em que o resultado não seja exato (ou muito grande) e enxergar ele como uma multiplicação ajuda a simplificarmos.

Por exemplo:

32

Se pensarmos, em que numero elevado ao quadrado dá 32, não vamos encontrar um número inteiro, por que 5 2 = 25 e 6 2 = 36 , logo o resultado para a raiz de 32 é um número decimal entre 5 e 6.

Mas podemos usar a multiplicação ao nosso favor, podemos pensar que 32 = 16 × 2 , com isso fazemos

32 = 16 × 2

Agora nesse caso temos uma raizona, podemos considerar ela como duas raízes do mesmo índice se multiplicando:

16 × 2 = 16 × 2

A raiz quadrada de 16 é 4, mas não existe um número inteiro que a raiz dê 2 (por isso vamos deixá-la assim mesmo). Nossa simplificação vai ficar:

32 = 16 × 2 = 4 × 2

Logo nosso resultado simplificado é 4 2 , observe que não colocamos o símbolo de multiplicação, mas quando temos um número antes de uma raiz, já fica entendido que eles estão se multiplicando.

Divisão

Para fazermos á divisão é necessário novamente ter INDICES IGUAIS. Se você não tiver, é só resolver as raízes individualmente e depois fazer a divisão.

Seguinte quando você tem duas raízes de mesmo índice se dividindo, você pode fazer uma raizona só, com os números se dividindo.

Exemplo:

81 3 3 3

Agora aplicando e fazendo uma raizona só, temos:

81 3 3 3 = 81 3 3 = 27 3

Pronto, agora é só resolver, vamos pensar em que número elevado ao cubo, dá 27. Testaremos o 3:

3 3 = 3 × 3 × 3 = 27

Pronto, assim temos:

81 3 3 3 = 81 3 3 = 27 3 = 3

É isto galerinha, vamos agora dar aquela treinadaaa PARTIUU

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Efetue a soma:

4 2 + 0 7 + 1 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Não existe nenhuma regra para soma ou subtração de raízes, por isso vamos resolver cada uma delas individualmente:

  • Primeira
  • 4 2

    Vamos pensar em que número elevou ao quadrado (índice) para obter o valor do radicando 4.

    Sabemos que se elevarmos 2 ao quadrado chegou exatamente em 4, ou seja:

    4 2 = 2

    Passo 2

  • Segunda
  • 0 7

    Uma das propriedades diz que independente do índice, a raiz de 0, sempre vai ser 0: 0 7 = 0 .

    Passo 3

  • Terceira

1 8

Outra propriedade diz que se o radicando for 1, independente dado valor d índice o resultado sempre vai ser 1:

1 8 = 1

Passo 2

Agora que descobrimos o valor de cada uma individualmente, agora é só fazer a soma:

4 2 + 0 7 + 1 8 = 2 + 0 + 1 = 3

Resposta

3

Exercício Resolvido #2

SILVEIRA, Ênio; MARQUES, Cláudio. Matemática. São Paulo, SP: Moderna, 1995. pp.15

Transforme em um único radical:

  1. 2 × 5 × √ 7
  2. 5 12 × 10 12
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Se tivermos duas ou mais raízes se multiplicando de mesmo índice, podemos fazer uma raizona só, com o mesmo índice.
  2. Na letra a, ambas são raízes quadradas, ou seja, podemos usar a regrinha:

    Agora é só fazer a multiplicação: 2 × 5 × 7 = √ 70

    Pronto, essa é a nossa única raiz.·.

    Passo 2

  3. Vamos seguir a mesma ideia, agora temos o índice 12 nas duas raízes, assim podemos fazer uma riazona:

Agora é só multiplicar:

5 × 10 12 = 50 12

Passo 2

Resposta

  1. 70
  2. 50 12

Exercício Resolvido #3

SILVEIRA, Ênio; MARQUES, Cláudio. Matemática. São Paulo, SP: Moderna, 1995. pp.15

Transforme em um único radical, escrevendo o radicando na sua forma mais simples possível:

  1. 20 24
  2. 16 5 20 5
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Para escrevermos numa só raiz a divisão, precisamos de índices iguais.
  2. Nesse caso ambas são raízes quadradas e possuem índice 2. Assim, podemos transformar em uma única raizona com esse mesmo índice:

    Essa divisão não é exata, PORÉEEM precisamos simplificar. Podemos dividir em cima e em baixo por 4, e teremos:

    20 24 = 20 ÷ 4 24 ÷ 4 = 5 6

    Prontinho, não temos mais simplificações e deixamos em uma raiz só.

    Passo 2

  3. Temos agora o mesmo índice 5, então novamente conseguimos fazer uma raizona:

Agora é só fazer a simplificação, vamos simplificar por 4:

16 20 5 = 16 ÷ 4 20 ÷ 4 5 = 4 5 5

Prontinho, chegamos na nossa resposta.

Resposta

  1. 5 6
  2. 4 5 5

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Resolva a multiplicação;

6 2 × 2 2 × 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse exercício chegamos ao caso em que os índices são iguais, para resolver vamos multiplicar os radicandos e fazer uma raiz só, ou seja:

6 2 × 2 2 × 3 2 = 6 × 2 × 3 2 = 6 × 6 2 = 6 2 2

Passo 2

Como, temos o expoente do radicando igual ao índice da raiz, podemos “cancelar” eles, lembrando que 2 é par logo o resultado sai em módulo:

6 2 2 = 6 = 6

Assim, o resultado da nossa multiplicação é 6.

Resposta

6

Exercício Resolvido #5

Elaboração propria

Resolva :

2 2 × 3 √ 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Dá uma olhada nessas raizes, ambas estão sendo multiplicadas por um número e têm índice 2 ( ou seja, estão elevado ao quadrado).

A idéia aqui é você sempre multiplicar raiz com raiz e número com número:

Agora podemos resolver separadammennte essas multiplicações e no final ssó mmultiplicamos os resultados.

Passo 2

Resolvendo a multiplicação entre os números :

2 × 3 = 6

Agora, vamos resolver a multiplicação entre as raizes :

√ 2 × √ 8

Ambas raizes tem o mesmo índice 2, por isso podemos usar nossa regrinha. Vamos juntar as duas raizes numa só comm o mesmo índice, e dentro dela tem os radicandos se multiplicando :

2 × 8 = 2 × 8 = √ 16

Para resolver essa raiz, vamos pensar em que número foi elevado ao qquadrado ( índice ) para obtermos 16 ?

Sabemos que é o 4. Por que 4 2 = 4 × 4 = 16 .

Assim, temos que :

2 × 8 = 16 = 4

Passo 3

Agora, vamos multiplicar oss nossos resultados

2 2 × 3 8 = 2 × 3 2 × 8 = 6 × 4 = 24

Resposta

24

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Faça a divisão:

2500 4 4 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essas raízes possuem índices iguais, assim podemos usar nossa regrinha.

Podemos fazer uma raiz só com o mesmo índice e dividir os radicandos, ou seja:

Agora é só fazer essa divisão, depois resolvemos a raiz.

Passo 2

2500 4 4 = 625 4

Agora para resolver, vamos pensar em que número foi elevado á quinta potência para termos 625.

Vamos testar o número 5:

5 4   = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

Assim, temos:

2500 4 4 4 = 625 4 = 5

Resposta

5

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Resolva:

5 1080 3 3 5 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos fazer a mesma coisa que fizemos para a multiplicação, número inteiro com número inteiro e raiz com raiz

Podemos imaginar como duas frações:

Vamos deixar os inteiros de lado por um momento e vamos resolver as raízes, elas têm o mesmo índice 3, assim aprendemos que podemos fazer um raizona só, com o mesmo índice e dividir os radicando:

Agora para resolver essa raiz, temos que pensar em qual número que foi elevado ao cubo, para obter 216. Vamos testar o seis:

6 3 = 6 × 6 × 6 = 216

Pronto, sabemos que:

216 3 = 6

Passo 2

Agora só vamos resolver a multiplicação:

5 3 × 216 3 = 5 3 × 6 = 10

Resposta

10

Exercício Resolvido #8

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando Matemática 7ª Série. São Paulo, SP: Editora do Brasil, 2002. pp.70

A metade da raíz quadrada de um número x é igual a 5. Então o valor de x é :

  1. 10
  2. 25
  3. 50
  4. 100
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos montar o enunciado, temos que a metade da raiz quadrada de um número é 5. Metade é dividir por 2, e basta igualarmos a 5 :

x 2 = 5

Podemos multiplicar os dois lados dessa equação por 2, ssimplismente passar o 2 que esttá dividindo para o outro lado da equação multiplicado :

x 2 × 2 = 5 × 2

Que resulta :

x = 10

Passo 2

Agora vamos lembrar que a raiz é o inverso da potenciação, ou seja, se queremos saber que raiz quadrada dá 10, podemos simplesmente elevar o 10 ao quadrado :

x = 10 ⇒ x = 10 2

Sabemos que 10 2 = 10 × 10 = 100

Logo achamos o número que procurávamos.

Resposta

Letra D

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