Juros Simples e Compostos.

Teoria Completa

Introdução

Falaaaaa aí meus lindos, tudo certinho?

Nesse tópico vamos falar sobre uma área de aplicação das porcentagens que é muito comum e costuma cair muuuito nas provas, são os Juros Simples e Compostos.

Os juros estão presentes em diversas circunstâncias do nosso dia a dia, no rendimento da poupança, nos financiamentos ou quando atrasamos o pagamento de alguma conta.

Mas, você realmente sabe o que são os juros e como é a sua aplicação?

Definição: Juros é a taxa de crescimento de algum valor em razão de um determinado período de tempo.

Beleza, agora que já definimos o que é juros, podemos começar a falar um pouco mais sobre eles...

Juros Simples

Os juros simples é um acréscimo aplicado a um valor inicial e é dado pela fórmula:

J = C ∙ i ∙ t

Onde

J são os juros.

C é o capital inicial

i é a taxa de juros (ATENÇÃO!!! Essa taxa é dada em decimais, para obter a taxa dessa forma basta dividir a porcentagem por 100 . Exemplo: 50 % = 50 100 = 0,5 ).

t é o tempo (ATENÇÃO!!! O tempo tem que ser referente à taxa de juros, ou seja, se a taxa é dada em meses, o tempo também precisa ser dado em meses).

Existe uma outra fórmula muito útil que nos diz quanto será o total acumulado após a aplicação dos juros:

M = C + J

Onde

J são os juros.

C é o capital inicial.

M é o montante dado pela soma dos juros com o capital inicial.

E aí, bora fazer um exemplo e ver como isso funciona na prática?

Aplicação

Imagine que você aplicou 2.000,00 reais a uma taxa de 3 % ao mês durante 12 meses, quanto será o montante final?

O nosso capital inicial ( C ) é de 2.000,00 reais, a taxa de juros ( i ) é de 3 % ao mês e o tempo de aplicação ( t ) é de 12 meses.

Colocando tudo na fórmula, temos:

J = 2.000,00 ∙ 0,03 ∙ 12

J = 720

Agora basta calcularmos o montante somando os juros encontrados com o capital inicial:

M = 2.000,00 + 720

M = 2.720,00

Molezinha, né!?

Mais uma aplicaçõzinha pra gente ficar preparadíssimo

Um capital aplicado a juros simples durante 8 meses, sob uma taxa de 4% ao mês gerou um montante de R $   7920 , 00 . Qual o valor do capital inicial aplicado?

Vamos reunir as informações que temos, depois usamos as formulazinhas ao nosso favor

Temos o valor do Montante, da taxa e do tempo em meses:

M = 792 0

i = 4 %   o u   0,04

t = 8

Nós queremos saber o valor do capital inicial, mas pra isso vamos precisar também do valor juros .

J = C ∙ 0,04 ∙ 8

J = 0.32 C

Podemos substituir esse valor que encontramos pro juros na formula do montante : M = J + C

7920 = 0,32 C + C

7920 = 1,32 C

C = 6000,00

Ou seja, o Capital inicial aplicado foi de R $   6000,00 .

Juros Compostos

Beleza, já vimos o que são os juros simples e como trabalhar como ele, mas, o que seriam esses tais Juros Compostos?

Os juros compostos são os mais usados em transações financeiras pois diferentemente dos juros simples, ele é aplicado sobre o acumulado de juros.

O que isso quer dizer?

Suponhamos que você tivesse uma dívida de 1.000,00 reais e que após ser aplicado os juros referentes a um mês essa dívida foi para 1.100,00 reais.

Caso a dívida não seja quitada, no próximo mês a dívida será sobre o acumulado de 1.100,00 reais e não no capital inicial como nos juros simples.

A forma de calcular os juros compostos é dada pela seguinte fórmula:

M = C ∙ ( 1 + i ) t

Onde

M é o montante.

C é o capital inicial.

i é a taxa de juros.

t é o tempo da aplicação.

Lembrando que a taxa deve ser dada em decimais e além disso, i e t devem estar na mesma grandeza (mês, ano, ...).

Após encontrar o montante, podemos achar o valor dos juros pela seguinte fórmula:

J = M - C

Onde

J são os juros.

M é o montante.

C é o capital inicial.

Entendeu??

Relaxa, com exemplo tudo fica mais fácil...

Aplicação

Aplicando 30.000,00 reais em ações na bolsa de valores, qual será o montante após 3 anos, sabendo que a rentabilidade anual é de 2,5 % ?

O capital inicial é de 30.000,00 reais, o tempo de aplicação é de 3 anos e a rentabilidade anual é de 2,5 % .

Colocando os valores na fórmula, temos:

M = 30.000,00 ∙ ( 1 + 0,025 ) 3

M = 30.000,00 ∙ ( 1,025 ) 3

Lembrando que

( 1,025 ) 3 = ( 1,025 ) ∙ ( 1,025 ) ∙ ( 1,025 )

Logo

M = 30.000,00 ∙ 1,025 ∙ 1,025 ∙ 1,025

M = 30.000,00 ∙ 1,076

M = 32.280,00

E tá aí, o montante será de 32.280,00 reais.

Caso quisermos achar o total de juros, basta fazermos o montante menos o capital inicial:

J = 32.280,00 - 30.000,00

J = 2.280,00

O acumulado de juros durante os 3 anos foram de 2.280,00 reais.

Outro exemplinho:

Se um capital de R $   2000,00 é aplicado á juros compostos durante dois meses sob uma taxa fixa que produz um montante de R $   2184,05 , qual o valor da taxa mensal de juros ?

Bom, nesse exercício queremos calcular o valor da taxa ( i ), assim vamos usar a fórmula do montante para juros compostos:

M = C ∙ ( 1 + i ) t

Temos M = 2184,05 , C = R $   2000,00 e t = 2

2184,05 = 2,000 ∙ ( 1 + i ) 2

1 + i 2 = 2184,05 2000

1 + i 2 = 2184,05 2000

1 + i 2 = 1.092025

Tirando a raiz:

1 + i = 1.092025

i = 1.045 - 1 = 0.045

Ou seja a taxa é de 4,5   % mensal.

Agora que você já está sabendo tudo sobre os juros simples e compostos, que tal fazer uns exercícios de fixação!?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Qual será o montante após 6 meses caso seja aplicado 12.000,00 reais a um juros simples de 0,8 % ao mês?

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Passo 1

Como se trata de um problema envolvendo juros simples, devemos usar a fórmula:

J = C ∙ i ∙ t

O enunciado nos apresenta todas as grandezas necessárias para calcular os juros:

C = 12.00,00 reais.

i = 0,8 % = 0,8 100 = 0,008 .

t = 6 meses.

Colocando os valores na fórmula descobriremos o total de juros:

J = 12.000,00 ∙ 0,008 ∙ 6

J = 576,00

Os juros serão de 576,00 reais.

Passo 2

Agora que já sabemos o valor dos juros, podemos achar o valor do montante:

M = J + C

M = 576,00 + 12.000,00

M = 12.576,00

Resposta

12.576,00 reais.

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Um capital de 3.000,00 reais será aplicado durante 3 anos com uma taxa de juros simples de 4 % ao mês. Qual será o montante após esses 3 anos?

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Passo 1

Podemos extrair algumas informações importante de início:

C = 3.000,00 .

i = 4 % = 4 100 = 0,04 .

t = 3 anos.

Como a taxa de juros é dada em meses e o tempo de aplicação é dado em anos, precisamos converter uma das medidas para que fiquem equivalentes.

Em 1 ano temos 12 meses, logo, em 3 anos teremos 3 ∙ 12 = 36 meses.

Passo 2

Com as medidas convertidas e sabendo que se trata de juros simples, podemos aplicar a fórmula:

J = C ∙ i ∙ t

J = 3.000,00 ∙ 0,04 ∙ 36

J = 4.320,00

Passo 3

Agora basta aplicarmos a fórmula do montante e somarmos o capital inicial com os juros acumulados:

M = C + J

M = 3.000,00 + 4.320,00

M = 7.320,00

Resposta

7.320,00 reais.

Exercício Resolvido #3

Autoria própria.

Após aplicar 1.000,00 reais em um fundo de investimentos um investidor obteve um montante de 1.120,00 reais em 6 meses. Qual é a taxa de juros (ao mês e em porcentagem) que foi aplicada sabendo que esse fundo de investimentos adota o regime de juros simples?

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Passo 1

O enunciado nos apresenta o valor do montante e o valor do capital inicial investido, com isso, podemos achar o valor total dos juros:

M = C + J

M - C = J

1 . 12 0,00 - 1.000,00 = J

J = 12 0,00

O acumulado dos juros é de 200,00 reais.

Passo 2

Precisamos agora encontrar o valor da taxa de juros, como se trata de juros simples, aplicamos a fórmula:

J = C ∙ i ∙ t

Acabamos de encontrar o valor dos juros e já temos o valor do capital inicial e o tempo de aplicação, sendo assim, basta substituirmos os valores na fórmula:

12 0,00 = 1.000,00 ∙ i ∙ 6

12 0,00 = 6.000,00 ∙ i

i = 12 0 6000

i = 0,0 2

Passo 3

Achamos o valor da taxa de juros em decimais, porém o enunciado pede que a taxa seja dada em porcentagem.

Para isso, basta multiplicarmos o valor encontrado por 100 %

i = 0,0 2 ∙ 100 %

i = 2 %

Resposta

2 % .

Exercício Resolvido #4

Brasil Escola – Exercício Juros Compostos – Adaptado.

Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de 20.000,00 reais. Sabendo que a taxa de juros compostos é de 2 % ao mês:

a) determine o valor desse capital.

b) determine o valor dos juros acumulados.

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Passo 1

Letra a)

Primeiramente devemos identificar os valores que o enunciado nos apresenta.

M = 20.000,00 .

i = 2 % = 2 100 = 0,02 .

t = 24 meses.

Como trata-se de um exercício de juros compostos, devemos usar a fórmula:

M = C ∙ ( 1 + i ) t

20.000,00 = C ∙ ( 1 + 0,02 ) 24