Juros Simples e Compostos.

Teoria Completa

Introdução

Falaaaaa aí meus lindos, tudo certinho?

Nesse tópico vamos falar sobre uma área de aplicação das porcentagens que é muito comum e costuma cair muuuito nas provas, são os Juros Simples e Compostos.

Os juros estão presentes em diversas circunstâncias do nosso dia a dia, no rendimento da poupança, nos financiamentos ou quando atrasamos o pagamento de alguma conta.

Mas, você realmente sabe o que são os juros e como é a sua aplicação?

Definição: Juros é a taxa de crescimento de algum valor em razão de um determinado período de tempo.

Beleza, agora que já definimos o que é juros, podemos começar a falar um pouco mais sobre eles...

Juros Simples

Os juros simples é um acréscimo aplicado a um valor inicial e é dado pela fórmula:

J = C ∙ i ∙ t

Onde

J são os juros.

C é o capital inicial

i é a taxa de juros (ATENÇÃO!!! Essa taxa é dada em decimais, para obter a taxa dessa forma basta dividir a porcentagem por 100 . Exemplo: 50 % = 50 100 = 0,5 ).

t é o tempo (ATENÇÃO!!! O tempo tem que ser referente à taxa de juros, ou seja, se a taxa é dada em meses, o tempo também precisa ser dado em meses).

Existe uma outra fórmula muito útil que nos diz quanto será o total acumulado após a aplicação dos juros:

M = C + J

Onde

J são os juros.

C é o capital inicial.

M é o montante dado pela soma dos juros com o capital inicial.

E aí, bora fazer um exemplo e ver como isso funciona na prática?

Aplicação

Imagine que você aplicou 2.000,00 reais a uma taxa de 3 % ao mês durante 12 meses, quanto será o montante final?

O nosso capital inicial ( C ) é de 2.000,00 reais, a taxa de juros ( i ) é de 3 % ao mês e o tempo de aplicação ( t ) é de 12 meses.

Colocando tudo na fórmula, temos:

J = 2.000,00 ∙ 0,03 ∙ 12

J = 720

Agora basta calcularmos o montante somando os juros encontrados com o capital inicial:

M = 2.000,00 + 720

M = 2.720,00

Molezinha, né!?

Mais uma aplicaçõzinha pra gente ficar preparadíssimo

Um capital aplicado a juros simples durante 8 meses, sob uma taxa de 4% ao mês gerou um montante de R $   7920,00 . Qual o valor do capital inicial aplicado?

Vamos reunir as informações que temos, depois usamos as formulazinhas ao nosso favor

Temos o valor do Montante, da taxa e do tempo em meses:

M = 7920

i = 4 %   o u   0,04

t = 8

Nós queremos saber o valor do capital inicial, mas pra isso vamos precisar também do valor juros .

J = C ∙ 0,04 ∙ 8

J = 0.32 C

Podemos substituir esse valor que encontramos pro juros na formula do montante : M = J + C

7920 = 0,32 C + C

7920 = 1,32 C

C = 6000,00

Ou seja, o Capital inicial aplicado foi de R $   6000,00 .

Juros Compostos

Beleza, já vimos o que são os juros simples e como trabalhar como ele, mas, o que seriam esses tais Juros Compostos?

Os juros compostos são os mais usados em transações financeiras pois diferentemente dos juros simples, ele é aplicado sobre o acumulado de juros.

O que isso quer dizer?

Suponhamos que você tivesse uma dívida de 1.000,00 reais e que após ser aplicado os juros referentes a um mês essa dívida foi para 1.100,00 reais.

Caso a dívida não seja quitada, no próximo mês a dívida será sobre o acumulado de 1.100,00 reais e não no capital inicial como nos juros simples.

A forma de calcular os juros compostos é dada pela seguinte fórmula:

M = C ∙ ( 1 + i ) t

Onde

M é o montante.

C é o capital inicial.

i é a taxa de juros.

t é o tempo da aplicação.

Lembrando que a taxa deve ser dada em decimais e além disso, i e t devem estar na mesma grandeza (mês, ano, ...).

Após encontrar o montante, podemos achar o valor dos juros pela seguinte fórmula:

J = M - C

Onde

J são os juros.

M é o montante.

C é o capital inicial.

Entendeu??

Relaxa, com exemplo tudo fica mais fácil...

Aplicação

Aplicando 30.000,00 reais em ações na bolsa de valores, qual será o montante após 3 anos, sabendo que a rentabilidade anual é de 2,5 % ?

O capital inicial é de 30.000,00 reais, o tempo de aplicação é de 3 anos e a rentabilidade anual é de 2,5 % .

Colocando os valores na fórmula, temos:

M = 30.000,00 ∙ ( 1 + 0,025 ) 3

M = 30.000,00 ∙ ( 1,025 ) 3

Lembrando que

( 1,025 ) 3 = ( 1,025 ) ∙ ( 1,025 ) ∙ ( 1,025 )

Logo

M = 30.000,00 ∙ 1,025 ∙ 1,025 ∙ 1,025

M = 30.000,00 ∙ 1,076

M = 32 . 306,71

E tá aí, o montante será de 32.280,00 reais.

Caso quisermos achar o total de juros, basta fazermos o montante menos o capital inicial:

J = 32.280,00 - 30.000,00

J = 2.280,00

O acumulado de juros durante os 3 anos foram de 2.280,00 reais.

Outro exemplinho:

Se um capital de R $   2000,00 é aplicado á juros compostos durante dois meses sob uma taxa fixa que produz um montante de R $   2184,05 , qual o valor da taxa mensal de juros ?

Bom, nesse exercício queremos calcular o valor da taxa ( i ), assim vamos usar a fórmula do montante para juros compostos:

M = C ∙ ( 1 + i ) t

Temos M = 2184,05 , C = R $   2000,00 e t = 2

2184,05 = 2,000 ∙ ( 1 + i ) 2

1 + i 2 = 2184,05 2000

1 + i 2 = 2184,05 2000

1 + i 2 = 1.092025

Tirando a raiz:

1 + i = 1.092025

i = 1.045 - 1 = 0.045

Ou seja a taxa é de 4,5   % mensal.

Agora que você já está sabendo tudo sobre os juros simples e compostos, que tal fazer uns exercícios de fixação!?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Qual será o montante após 6 meses caso seja aplicado 12.000,00 reais a um juros simples de 0,8 % ao mês?

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Passo 1

Como se trata de um problema envolvendo juros simples, devemos usar a fórmula:

J = C ∙ i ∙ t

O enunciado nos apresenta todas as grandezas necessárias para calcular os juros:

C = 12.00,00 reais.

i = 0,8 % = 0,8 100 = 0,008 .

t = 6 meses.

Colocando os valores na fórmula descobriremos o total de juros:

J = 12.000,00 ∙ 0,008 ∙ 6

J = 576,00

Os juros serão de 576,00 reais.

Passo 2

Agora que já sabemos o valor dos juros, podemos achar o valor do montante:

M = J + C

M = 576,00 + 12.000,00

M = 12.576,00

Resposta

12.576,00 reais.

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Um capital de 3.000,00 reais será aplicado durante 3 anos com uma taxa de juros simples de 4 % ao mês. Qual será o montante após esses 3 anos?

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Passo 1

Podemos extrair algumas informações importante de início:

C = 3.000,00 .

i = 4 % = 4 100 = 0,04 .

t = 3 anos.

Como a taxa de juros é dada em meses e o tempo de aplicação é dado em anos, precisamos converter uma das medidas para que fiquem equivalentes.

Em 1 ano temos 12 meses, logo, em 3 anos teremos 3 ∙ 12 = 36 meses.

Passo 2

Com as medidas convertidas e sabendo que se trata de juros simples, podemos aplicar a fórmula:

J = C ∙ i ∙ t

J = 3.000,00 ∙ 0,04 ∙ 36

J = 4.320,00

Passo 3

Agora basta aplicarmos a fórmula do montante e somarmos o capital inicial com os juros acumulados:

M = C + J

M = 3.000,00 + 4.320,00

M = 7.320,00

Resposta

7.320,00 reais.

Exercício Resolvido #3

Autoria própria.

Após aplicar 1.000,00 reais em um fundo de investimentos um investidor obteve um montante de 1.120,00 reais em 6 meses. Qual é a taxa de juros (ao mês e em porcentagem) que foi aplicada sabendo que esse fundo de investimentos adota o regime de juros simples?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O enunciado nos apresenta o valor do montante e o valor do capital inicial investido, com isso, podemos achar o valor total dos juros:

M = C + J

M - C = J

1 . 12 0,00 - 1.000,00 = J

J = 12 0,00

O acumulado dos juros é de 200,00 reais.

Passo 2

Precisamos agora encontrar o valor da taxa de juros, como se trata de juros simples, aplicamos a fórmula:

J = C ∙ i ∙ t

Acabamos de encontrar o valor dos juros e já temos o valor do capital inicial e o tempo de aplicação, sendo assim, basta substituirmos os valores na fórmula:

12 0,00 = 1.000,00 ∙ i ∙ 6

12 0,00 = 6.000,00 ∙ i

i = 12 0 6000

i = 0,0 2

Passo 3

Achamos o valor da taxa de juros em decimais, porém o enunciado pede que a taxa seja dada em porcentagem.

Para isso, basta multiplicarmos o valor encontrado por 100 %

i = 0,0 2 ∙ 100 %

i = 2 %

Resposta

2 % .

Exercício Resolvido #4

Brasil Escola – Exercício Juros Compostos – Adaptado.

Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de 20.000,00 reais. Sabendo que a taxa de juros compostos é de 2 % ao mês:

a) determine o valor desse capital.

b) determine o valor dos juros acumulados.

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Passo 1

Letra a)

Primeiramente devemos identificar os valores que o enunciado nos apresenta.

M = 20.000,00 .

i = 2 % = 2 100 = 0,02 .

t = 24 meses.

Como trata-se de um exercício de juros compostos, devemos usar a fórmula:

M = C ∙ ( 1 + i ) t

20.000,00 = C ∙ ( 1 + 0,02 ) 24

20.000,00 = C ∙ ( 1,02 ) 24

20.000,00 = C ∙ 1.61

C = 20.000,00 1,61

C = 12.422,36

Passo 2

Letra b)

Agora que já temos o valor do capital inicial, basta subtrair do valor do montante para descobrir o valor dos juros acumulados:

J = M - C

J = 20.000,00 - 12.422,36

7.577,64

Resposta

a) 12.422,36 reais.

b) 7.577,64 reais.

Exercício Resolvido #5

UERJ – 2016.

Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento:

- À vista, no valor de 860,00 reais;

- Em duas parcelas fixas de 460,00 reais, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois.

A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de:

a) 10%

b) 12%

c) 15%

d) 18%

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Passo 1

Caso o pagamento fosse efetuado no ato da compra, o valor seria de 860,00 reais, porém foi pago apenas 460,00 reais.

Precisamos então, subtrair o valor total da parcela do total que seria pago à vista para encontrarmos nosso capital inicial.

C = 860,00 - 460,00

C = 400,00

Passo 2

Agora precisamos encontrar o valor dos juros.

Para isso, subtraímos o valor que seria pago à vista ( 860,00 ) do total que será pago com a compra parcelada ( 2 ∙ 460,00 = 920,00 ).

J = 920,00 - 860,00

J = 60,00

Passo 3

Como já temos o valor dos juros, o capital inicial e o tempo de aplicação, podemos aplicar a fórmula dos juros simples para descobrir o valor da taxa:

J = C ∙ i ∙ t

60,00 = 400,00 ∙ i ∙ 1

60,00 = 400,00 ∙ i

i = 60,00 400,00

i = 0,15

Achamos o valor em decimais. Para saber a porcentagem correspondente basta multiplicar o valor achado por 100 % .

i = 0,15 ∙ 100 %

i = 15 %

Resposta

Alternativa c).

Exercício Resolvido #6

Autoria própria.

Ana e Thiago irão investir em fundos de investimentos diferentes, ambos a juros compostos. Ana tem capital inicial de 8.200,00 reais e estará sujeita a uma taxa de juros de 0,6 % ao mês durante 5 meses. Thiago tem 7 . 8 00,00 reais de capital inicial e aplicará seu dinheiro durante 8 meses com taxa de juros de 0,5 % ao mês.

Quem terá o maior montante no final?

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Passo 1

Vamos dividir em partes, primeiro acharemos quanto é o montante que Ana terá:

M = C ∙ ( 1 + i ) t

Substituindo os valores dados no enunciado, temos:

M = 8.200,00 ∙ ( 1 + 0 , 6 100 ) 5

M = 8.200,00 ∙ ( 1 , 00 6 ) 5

M = 8.200,00 ∙ 1,03

M = 8.446,00

Passo 2

Agora precisamos achar o valor do montante do Thiago.

Substituindo os valore dado no enunciado, temos:

M = C ∙ ( 1 + i ) t

M = 7.800,00 ∙ ( 1 + 0,5 100 ) 8

M = 7.800,00 ∙ ( 1,005 ) 8

M = 7.800,00 ∙ 1,04

M = 8.112,00

Resposta

Ana teve o maior montante.

Exercício Resolvido #7

Autoria própria.

Uma aplicação financeira rende 4 % a juros compostos ao mês. Determine o tempo mínimo necessário para que o capital triplique de valor.

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Passo 1

Como queremos que o montante seja três vezes maior que o capital inicial, fazemos:

M = 3 C

A taxa de juros é de 4 % , ou seja, 4 % = 4 100 = 0.04

Dessa forma, montamos a fórmula da seguinte maneira:

3 C = C   ∙   ( 1 + 0,04 ) t

3 C C = 1,04 t

Podemos cortar o capital C na fração e assim teremos:

3 = 1,04 t

Passo 2

Como não sabemos o valor de t , podemos aplicar log em ambos e usar a regrinha do peteleco:

l o g   3 = l o g   1,04 t    

Relembrando: Quando um logaritmo estiver elevado a um exponencial, nesse caso o t , o exponencial pode multiplicar o resultado do logaritmo.

Assim, teremos:

t   ∙   l o g   1,04   = l o g   3  

t   ∙   0,017 = 0,477

t = 0,477 0,017

t   ≅   28

Resposta

Aproximadamente 28 meses.

Exercício Resolvido #8

Fuvest – 2018.

Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por 1.500,00 reais à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de 500,00 reais. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1 % ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer.

Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?

(A) 1.450,20

(B) 1.480,20

(C) 1.485,20

(D) 1.495,20

(E) 1.490,20

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Passo 1

O segredo aqui está em compreender o enunciado e ir montando a equação passo a passo.

Vamos dizer que Maria tinha X reais para efetuar a compra.

1º Mês:

Maria pagou a primeira parcela de 500,00 reais e em sequência investiu o valor restante com uma taxa de 1 % ao mês.

1 % = 1 100 = 0,01

Pela fórmula dos juros compostos temos que:

M = ( X - 500 ) ∙ ( 1 + 0,01 ) 1

M = ( X - 500 ) ∙ 1,01

Passo 2

2º Mês:

No segundo mês ela tem ( X - 500 ) ∙ 1,01 e precisa pagar mais 500,00 reais da segunda parcela.

Logo, teremos:

( X - 500 ) ∙ 1,01 - 500

Nesse instante, ela já terá pago duas das três parcelas de 500,00 reais e O dinheiro que sobrou renderá mais 1,01

Desse modo, chegamos na seguinte equação:

X - 500 ∙ 1,01 - 500 ∙ 1,01

Passo 3

3º Mês:

No último mês ela terá o valor dado por X - 500 ∙ 1,01 - 500 ∙ 1,01 e precisa que esse valor seja igual a 500,00 reais.

Chegamos na seguinte equação:

X - 500 ∙ 1,01 - 500 ∙ 1,0 1 = 500

Agora basta fazer algumas continhas e encontrar quanto vale X , sendo X o valor inicial de Maria.

1,01 X - 505 - 500 ∙ 1,01 = 500

1,01 X - 1.005 ∙ 1,01 = 500

1,0201 X - 1.015,05 = 500

1,0201 X = 500 + 1.015,05

1,0201 X = 1.515,05

X = 1.515,05 1,02

X = 1.485,20

Resposta

Alternativa c).

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